Дискретно-непрерывная математика (стр. 98 )

и последовательность для T2 удовлетворяет условиям определения θg, поэтому θ (T2) = 2.

Теперь для того чтобы доказать, что Т2 — полугруппа типа I, мы должны показать, что или, что эквивалентно, мы должны

показать, что любое отношение конгруэнтности на T2, которое содер­жит H классы (т. е. стягивает их в точку), должно стягивать R классы полугруппы Т2 в множества, состоящие из одного элемента. Тогда каж­дый F класс из ТC2 должен иметь вид Аl и Пусть φ будет гомоморфизмом, ассоциированным с таким отношением конгруэнт­ности. Тогда φ (Хп) состоит из одного элемента и

является L классом и поэтому имеет вид Аl. Но так как φ(Gn) состоит из одного элемен­та, имеет вид Аl. Следовательно, Т2 есть полугруппа типа I.

Теперь построим Т3. Пусть Так как

имеем Положим Очевидно, что множество T3—это полугруппа с тремя F классами По тем же причинам, что и раньше,

.

Следовательно, для полугруппы Т3 мы имеем последовательность длины три, удовлет­воряющую определению θg, поэтому Как и ранее, пусть φ — любой гомоморфизм полугруппы Т3, стягивающий H классы в точ­ку. Мы должны показать, что

имеет вид Аl. Так как множество Jп-2yп-2 является L классом, имеет такой вид, и мы уже знаем, что также

имеет такой вид. Нам известно, что содержится в области

определения для Gn-1 и согласно утверждению 3.33 из микромодуля 9 содержит­ся в области определения каждой максимальной подгруппы, которая L эквивалентна Gn-1. Это означает, что каждый идемпотент из L класса, содержащего Gn-1, фиксирует Jп-2yп-2. Пусть это множество идемпотентов обозначено {ei}. Тогда легко видеть, что Следовательно,

так что

имеет вид Аl и Т3 есть полугруппа типа I.

Продолжая эту процедуру далее, мы построим множество которое будет подполугруппой типа I полугруппы S, такой, что θ(Т)= п.

2.30. Лемма. Пусть — некомбинаторная полугруппа типа I. Тогда

Для доказательства этой леммы нам потребуются следующие утверж­дения.

2.31. Утверждение, а) Пусть будет GGM, RLM или LLM полугруппой. Тогда IG (S) будет GGM, RLM или LLM полугруппой соответственно. Если S есть GM полугруппа, то IG (S) будет GМ по­лугруппой тогда и только тогда, когда S не будет группой с нулем.

б) Пусть— полугруппа типа I. Рассмотрим для S самую длинную последовательность чередующихся GGM и RLM полугрупп. Эта последовательность оканчивается {0}I или {0}. Последний член этой последовательности, который {0}I, есть GGM полугруппа, яв­ляющаяся или группой, или группой с нулем.

в) Пустьи предположим, что IG (S) = S. Рассмотрим для S последовательность максимальной длины с чередующимися GGM и RLM полугруппами. Последний член этой последовательности, который {0}I, есть (комбинаторная) RLM полугруппа.

Доказательство, а) Пусть S будет GGM полугруппой с отмеченным F классом J. Так как S есть объединение групп, есть F

класс полугруппы IG (S). Назовем его J'. Тогда J' — единствен­ный минимальный ненулевой F класс в IG (S). Пусть js1≠ js2IG (S). Так как S является GGM полугруппой, существует такой элемент jJ, что js1≠ js2. Пусть е— единица для j. Тогда jes1≠ jes2, откуда следует, что es1≠ es2. Так как мы видим, что IG (S) действует точно справа на J'. Аналогично IG (S) действует точно слева на J'. Следовательно, IG(S) представляет собой GGM полугруппу. Для RLM и LLM полугрупп доказательства идентичны.

Пусть S — группа с нулем. Тогдаи, следовательно,

не есть GM полугруппа. Наоборот, пусть S является GM полугруппой. Предположим, что IG (S) не есть GM полугруппа. Из изложенного ясно, что если S есть GM полугруппа, то IG (S) будет GM полугруппой тогда и только тогда, когда класс J' некомбинаторный или

Следовательно, J' —- комбинаторный класс. Это значит, что J' =Е (J) = {единицы максимальных подгрупп класса J}. Таким об­разом, существует рисовское матричное представление для J с С(b, а)=1 для всех элементов Но так как S есть GM полугруппа, структурная матрица С не может иметь пропор­циональных строк или столбцов (см. утверждение 2.22 из микромодуля 9), так что J=G. Но согласно представлению Щютценберже для GM полу­групп имеем S = G или G0 (см. пункт б) леммы 2.17 из микромодуля 9). Так как то S = G0.

б) RLM полугруппа, идущая вслед за последней некомбинатор­ной GGM полугруппой, должна быть комбинаторной. Обозначим ее символом Т. Тогда. Если T{0}I, то Это противоречие. Следовательно, последний член {0}I есть GGM полу­группа, а следовательно, и GM полугруппа. Обозначим ее символом S1. Пусть J — отмеченный F класс полугруппы S1. Мы утверждаем, что J — простой слева. Если же это не так, то Это противоречие. Но представление Щютценберже для UM полугрупп по­казывает, что если S1— простая слева полугруппа, то S=G или G0.