Дискретно-непрерывная математика (стр. 73 )

в) Если F (J)≠, то J° есть единственный 0-минимальный идеал полугруппы S/F(J).

34. Пусть М = М°(G; А, В; С) — регулярная рисовская полугруппа матричного типа. Пусть αRT(M) и βLT (М) связаны. Тогда докажите, рассмотрев α, β и С как матрицы, которые αС = Сβ. Это матричная форма для определения 10.

Микромодуль 9.

Гомоморфизмы и полулокальная теория

3.6. Гомоморфизмы

В этом микромодуле будет показано, что если θ : S →→Т есть мак­симальный собственный эпиморфизм—МРЕ (Maximal proper epimorphism, см. определение 1.12), то или θ, ограниченный на H классы будет взаимно однозначным [γ(θ) эпиморфизм], или θ разделяет H классы (H эпиморфизм). Из этого следует, что каждый эпиморфизм между двумя конечными полугруппами можно разложить в γ(H) и H эпиморфизмы. Кроме того, если θ есть МРЕ, то будет доказано, что существует такой F класс J, что θ является взаимно однозначным на множестве S — J. Следовательно, дальнейший анализ эпиморфизма θ при помощи теорем Грина—Риса можно проводить на классе J.

1.1. Определение. Пусть S — заданная полугруппа. Свойством гомоморфизмов полугруппы S называется совокупность P паp (φ, T),

где φ: S →→Т, причем если

есть изоморфизм, то

Мы будем писать тогда и только тогда, когда

существует эпиморфизм: j : Т2→→Т1, такой, что φ1 =jφ2. Если

то T1 и Т2 изоморфны. Тогда мы говорим, что (φ1, Т1) и (φ2, Т2) также изоморфны.

1.2. Определение. Пусть P —свойство гомоморфизмов полугруп­пы S. Назовем (φ, Т) P минимальным (соответственно максималь­ным) гомоморфным образом полугруппы S по отношению к P, если (φ, Т) является единственным (с точностью до изоморфизма) мини­мальным (соответственно максимальным) элементом из P в упорядо­чении ≤. Следовательно, утверждение, что (φ, Т) есть минимальный (соответственно максимальный), означает, что если (φ1, Т1) P, то существует гомоморфизм f1: Т1 →→Т (соответственно f2: Т →→Т1), который делает приве­денную диаграмму а (соответст­венно диаграмму б) коммутатив­ной.

1.3. Замечание. P не обяза­тельно имеет максимальный или минимальный гомоморфный образ. Например, если | А | ≥3, то Аr не имеет ни максимального, ни минимального гомоморфного образа по отношению к P, где P есть совокупность таких пар (φ, Т), что

φ : А1→→ Т, где | T | = 2.

1.4. Утверждение. Пусть P ' — свойство полугруппы, замкну­тое относительно прямых произведений и подполугрупп (т. е. если

и если Т — подполугруппа полугруппы SP ', то ТP '). Тогда пусть S — полугруппа и предположим, что P — свойство гомоморфизмов полугруппы S, определяемое сле­дующим образом: (φ, Т) P тогда и только тогда, когда ТP '. В этом случае S «имеет максимальный гомоморфный образ по отношению к P.

Доказательство. Пусть поскольку

ясно, что P может иметь только конечное число неизоморфных членов, Тогда Рассмотрим гомоморфизм

(не обязательно эпиморфизм), где (n раз) определяется соотношениемТогда φ(S) есть подполугруппа в Т1 × ... × Тп, поэтому φ(S)P ' и Очевидно, что (φ, φ(S)) есть максимальный гомоморфный образ полугруп­пы S по отношению к P.

1.5. Замечание. Примерами совокупностей полугрупп, замкнутых относительно прямых произведений и подполугрупп служат: 1) груп­пы (конечные), 2) комбинаторные полугруппы, 3) полугруппы, пред­ставляющие собой объединения групп, 4) абелевы полугруппы,

5) связки и т. п.

В качестве примера построим максимальный групповой гомоморф­ный образ конечной полугруппы. Прежде всего докажем следующую лемму.

1.6. Лемма. Пусть S — полугруппа с идеалом I и φ : I →→Т1 — эпиморфизм. Тогда существует единственное расширение φ на S.

Доказательство. Пусть Определим отображение

полагая Зная, что φ (х) = 1, нетрудно

проверить, что является эпиморфизмом. Пусть s I. Тогда (s) =φ (xsx) = φ (s), поэтому есть расширение φ.

Пусть — другое расширение φ на S, предположим, что s S. Тогда поскольку xsx I. Но

так какследовательно = φ.

1.7. Пример. Мы построим теперь максимальный групповой го­моморфный образ конечной полугруппы S. Если φ : S →→ Н и Н — группа, то φ [К (S)] = Н, так как эпиморфизм отображает ядро на ядро и группа является своим собственным ядром. Давайте иссле­дуем строение эпиморфизма φ на К (S). Так как К (S) есть регу­лярный F класс, мы можем воспользоваться свойствами локальных гомоморфизмов из п. 3.4.

Пусть где С выбрана так, чтобы гомоморфизм φ можно было описать в нормализованной форме, т. е.

Но областью значений (образом) φ будет группа, поэтому ψL(а) = 1 для всех а A, ψR (b) = 1 для всех b В и ω [С (b, а)] = 1 для всех а А, b В. [Напомним, что С (b, а) ≠ 0 для всех а A, b В, так как К (S)—простая полугруппа.] Тогда С (В × А) должна при­надлежать ядру ω.

Построим теперь следующий гомоморфизм на К (S). Пусть N — нормальный делитель группы G, порожденный С (В × А). Пусть v : G →→ G/N — канонический гомоморфизм. Пусть тогда ψL(а)={1} и ψR (b) = {1}. Определим θ : К (S) →→v (G), полагая

Мы утверждаем, что θ, расширяемый единственным образом на S, в силу леммы 1.6 будет максимальным групповым гомоморфизмом полугруппы S. [Термин групповой гомоморфизм означает, что обра­зом этого гомоморфизма является группа.] Если φ есть такой гомомор­физм, что φ (S) — группа, то гомоморфизм ω на G, ассоциированный с φ, будет содержать N как подмножество своего ядра. Следовательно, существует гомоморфизм μ : v (G) →→ ω (G), т. е. ω= μ v. Но θ(S)=v(G) и φ (S) = ω (G), поэтому μ : θ(S)→→ φ (S) и φ = μ θ.