Дискретно-непрерывная математика (стр. 80 )

(5)

Следовательно, столбцы ψL (а) и ψL′(а) матрицы С пропорциональны справа. Но S есть GGM полугруппа, поэтому в силу утверждения 2.22 и, следовательно, Таким образом, существует только одно решение. Для определения значений ψL (а) и λ (а) рассмотрим известную величину f (b). Согласно (4) f (b) пропор­ционален справа столбцу ψL (а) матрицы С. Так как S есть GGM полугруппа, столбец ψL (а) может быть найден с помощью матрицы С и коэффициент пропорциональности между f(b) и С (b, ψL (а)) есть λ (а). Следовательно, ψL и λ полностью определены. Доказательство обратного утверждения проводится на основе дуальных рассуждений, б) Мы должны показать, что для всех. Так

как полугруппа I# простая, мы имеем где С (b,а) ≠0 для всех аА, bВ. Покажем, что не существует элемента s S — {0}, переводящего любой элемент из I# в нуль.

Так как s ≠ 0 и МRI точный, существует элемент b В, такой, что ψr (b) ≠ 0. Из этого следует, что δ (b) ≠ 0; так как С (b, а) ≠0 для всех аА, bВ, то получаем, что С [ψR (b), а] ≠ 0. Следовательно, в силу (2.3) для всех а А, откуда в свою очередь

следует из этого вытекает, что ψL (а) ≠ 0 для всех

а А. Обращая эти рассуждения, мы приходим к выводу, что ψr(b)≠ 0 для всех b В.

Мы видели, что никакой элемент из S — {0} не переводит элемент из I# в нуль. Поэтому остается только показать, что если s1, s2 S — I, то s1s2≠0. Пусть х I#. Тогда так что s1 (s2x) ≠0.

Из этого следует, что s1s2≠0.

2.24. Замечание. Предполагая ситуацию, описанную в пункте б) утверждения 2.23, нормализуем структурную матрицу идеала I так, что все элементы одного столбца и одной строки будут равны единице. Это можно сделать согласно утверждению 9 из предыдущего микромодуля. Предположим, что мы выбрали С (1, а =1 для всех аА и С (b, 1) = 1 для всех b B.

Покажем теперь, как действие любого элемента полугруппы S на I связано со структурной матрицей для I. Рассмотрим, например,

Тогда, поскольку С [ψR (b), 1] = 1, получаем

для всех bВ. Поэтому δ (b) будет прямо пропорционален некоторому столбцу матрицы С. Аналогично поэтому λ, и некоторая строка матрицы С пропорциональны. Эта связь между структурной матрицей и действием существенно зависит от того факта, что С (b, а) ≠ 0 для всех а А и для всех b В. В тех случаях, когда С имеет нулевые элементы, связь существенно ослабляется.

3.8. Разложение гомоморфизмов

Этот пункт посвящен различным разложениям гомоморфизмов конечных полугрупп. Мы докажем, что полугруппа имеет функториально минимальный γ гомоморфный образ, а также минимальные гомоморф­ные образы по отношению к другим свойствам гомоморфизмов. Мы докажем, что если G — группа и S — моноид, то гомоморфизм проекций будет L гомоморфизмом; кроме того, если С — комбина­торная полугруппа и S — любая конечная полугруппа, то есть γ(H) гомоморфизм.

Эти вычисления гомоморфизмов представляют самостоятельный интерес.

Пусть Р — разбиение на полугруппе S. Вспомним определение Р гомоморфизма и теорему о существовании Sp — минимального гомоморфного образа по отношению к P(S, Р).

3.1. Замечание, а) Пусть P — свойство гомоморфизмов полу­группы S. Если Q — конгруэнтность на S, пусть — ка­нонический гомоморфизм. Пусть есть конгруэнтность на S иТогда S имеет минимальный гомоморфный образ по отношению к P тогда и только тогда, когда В этом случае представляет собой минимальный гомоморфный образ. Следовательно, если P непусто, то S имеет минимальный гомоморфный образ по отношению к P, когда включение влечет включение

б) Пусть Р — разбиение на S. Пусть φ — гомоморфизм полугруппы S и Q — отношение конгруэнтности, индуцированное φ. В этом слу­чае φ будет Р гомоморфизмом тогда и только тогда, когда QP.

в) Если φ есть Р гомоморфизм, то φ разделяет Р классы полугруппы S Следовательно, φ индуцирует разбиение Р' на φ (S), определяемое отношением

тогда и только тогда, когдаP классы полугруппы S и Р' классы полугруппы φ(S) находятся во взаимно однозначном соответ­ствии, осуществляемом отображением φ. Следовательно, если х ≡ у (mod Р'), то содержатся в одном Р классе полугруппы S. Если Р— отношение конгруэнтности, то и Р' — отношение конгру­энтности.

3.2. Предложение. а) Пусть S — полугруппа с разбиением Р.

Пусть заданы эпиморфизмыВ этом случае φ2φ1 будет Р гомоморфизмом тогда и только тогда, когда φ1 будет Р гомоморфизмом и φ2 будет Р' гомоморфизмом,

б) Пусть α обозначает одно из отношений Пусть

Тогда для каждого и следующая диаграмма коммутативна:

Доказательство, а) Пусть φ1 будет Р гомоморфизмом, а φ2 есть Р' гомоморфизм. Пусть х, у S — такие элементы, что ху (mod P). Тогда Так как φ2 есть Р' гомоморфизм, так что φ2φ1 есть Р гомоморфизм. Наоборот, пусть φ2φ1 есть Р гомоморфизм и Тогда так что φ1(x)≠φ1(y) и φ1 есть Р гомоморфизм. Следовательно, Р' индуцируется на Т. Предположим, чтоТогда