Дискретно-непрерывная математика (стр. 96 )

Если |А | > 2, то, U1 ≤Аr. Если | А | = 1, то RLM полугруппа должна иметь вид {0}I или {0}. Следовательно, тогда и только тогда, когда U1 |RLMn.

Из доказательства леммы 2.22 известно, что есть подпря-

мое произведение всех RLM полугрупп, стоящих на п-м месте в GGM— RLM последовательностях для S. Если некоторая полугруппа то, так как мы имеем

Наоборот, предположим, что

Тогда U1 делит прямую сумму всех упомянутых RLM полугрупп. Но полугруппа U1 принадлежит классу IRR, поэтому U1 делит не­которую RLMn полугруппу. Следовательно,

2.24. Лемма.

Доказательство. Пусть

есть последовательность типа (е) наибольшей длины. Если для нее GMn — последняя ненулевая GM полугруппа, то п = θ (S). Заменим эту последовательность следующей последовательностью равной длины

[Этоможно сделать, так как согласно утверждению 3.25 из микромодуля 9

Пусть (Ji, Gi, Ni) — ядро отображения S→GМi (см. пункт в) определения 3.27 из микромодуля 9). Тогда мы имеем последовательность троек (J1, G1, N1), ..., (Jn, Gn, Nn), удовлетворяющую соотношениям J1 < < J2 <....< Jn. Легко видеть, что если i < j, то отображение S→→GМj переводит Ji в {0}. Кроме того, для i = 1, ..., п, так как максимальные подгруппы в отмеченных F классах полугрупп GMi изоморфны Gi/Ni и по предположению эти отмеченные F классы некомбинаторны, т. е. для фактор-групп Gi/Ni справедливы неравен­ства для i = 1, ..., п.

Пусть (см. определение

3.31 из микромодуля 9). Тогда Ki+1 есть ядро ограничения на группу Gi+1 го­моморфизмаи Ni+1 есть ядро ограничения на группу Gi+1 гомоморфизмаИз эле­ментарных фактов теории групп следует, что Следова­тельно, последовательность троек удовлет­воряет условиям 1—3 определения θg. Таким образом, θg (S)≥ θ (S) для всех полугрупп S L.

Наоборот, пусть последовательность удовлетворяет условиям 1—3, где п = θg (S). Положим

так что S' есть подполугруппа полугруппы S, J1, ..., Jn яв­ляются F классами полугруппы S' и есть последовательность для S', удовлетворяющая условиям 1—3.

Рассмотрим гомоморфизмы

Заметим, что K2 есть группа, являющаяся ядром ограниче­ния на G2 гомоморфизма φ1 и по предположению К2≤N2. Предполо­жим, что будет комбинаторным, тогда но это противоречие. Следовательно, имеем так как J1 = F (J2). По предложению 3.28 из микромодуля 9 получаем гомоморфизмы

Дальше действуем аналогично для того, чтобы построить последова­тельность типа (е). , поскольку Nn≠Gn. Следо­вательно,Таким образом,

для всех полугрупп S L.

2.25. Утверждение. а) Пусть задана тройка (J, G, N). Предположим, что (т. е. существуют , где Тогда

для некоторого i=1, ..., п.

Доказательство, а) Так как N≤Ni, существуют гомоморфизмы

.

Ограничение гомо­морфизма φi на максимальную подгруппу G/N отмеченного F класса из GM (J, G, N) есть отображение поэтому отображение будет взаимно однозначным на G/N. Тогда отображение взаимно однозначно на GM (J, G, N) согласно пункту б) утверждения 3.25 из микромодуля 9.

б) Этот пункт следует из аксиомы 1 (определение 1.2).

2.26. Лемма. Пусть E — разложение полугруппы S. Тогда Следовательно, θh не зависит от E.

Доказательство. Пусть — последова-

тельность наибольшей длины для полугруппы S, удовлетворяющая условию определения θg. Тогда п=θ(S). Пусть полугруппа S'=J1... Jn выбирается так же, как в доказательстве леммы 2.24.

Положим В силу предложения 3.28

из микромодуля 9 имеется следующая последовательность:

Поэтому мы получаем, что

Рассмотрим разложение для K2:

Тогда, посколькусуществует целое число j,1 ≤ j ≤α (2), такое, что (см. утвержде-

ние 2.25). Кроме того, мы имеем гомоморфизм GM

Пусть Тогда существует

последовательность

п — 1 членов которой представляют собой GM полугруппы. Следова­тельно, выбирая ядро каждого гомоморфизма S→→GM в последователь­ности, мы получим новую последовательность для полугруппы S', удовлетво­ряющую условиям определения θg.