Дискретно-непрерывная математика (стр. 114 )

Теперь можно определить закон внутренней композиции на P (E), т. е. определить отображение из P (Е) ×P (E) в P (E). Другими словами, каждой упорядоченной паре ( , ), где Е, Е, поставить в соответствие единственное нечеткое подмножество Е. Если т и п конечные, то посредством этих условий описывают конечный группоид (и бесконечный группоид, если т или (и) п не конечные).

Определенные таким образом законы внутренней композиции и группоиды будут называться законами нечеткой внутренней композиции или нечеткими внутренними законами и нечеткими группоидами, Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Пусть

Е = {А, В} (3.10)

и

М = {0, 1/2, 1}. (3.11)

Обратившись к рис. 3.23, получим

Рис. 3.23.

Для упрощения записи для Е вместо

{(А | (A)), (В | (В))}

будем писать

( (А), (В)).

Таким образом, {(А | 1/2), (В | 0)} будем записывать (1/2, 0). При этом обозначении таблица на рис. 3.24 представляет нечеткий группоид.

Рис. 3.24

Пример 2. Если рассматриваемая операция * есть пересечение и если Е и Е, то можно образовать группоид с нечеткими подмножествами в качестве результата применения этой операции. То же справедливо для операций и .

Построение нечеткого группоида. Для построения нечеткого группоида достаточно задать универсальное множество Е, конечное или нет, образовать P (Е) явно или нет и определить закон *, который каждой упорядоченной паре нечетких подмножеств ( , ) ставит в соответствие одно и только одно нечеткое подмножество ( , ,).

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Рассмотрим еще раз (3.10) и (3.11) с законом

* = , (3.13)

т. е.

= MIN ( (х), (х)) = (х) (х) . (3.14)

Таким образом, мы построили группоид, представленный на рис. 3.25.

Рис. 3.25

Пример 2. Попробуем определить «нечеткие положительные целые числа». Начнем из определения нечеткого числа с функцией принадлежности (п), произвольной, но такой, что

(п)= 1, п = 0, 1,2,3,... (3.15)

Например,

= {(0|0,1), (11 0,8), (2|0,l),...(N>2|0)}. (3.16)

Построим следующим образом:

(0) = (0) · (0) = (0,1) · (0,1) = 0,01,

(l) = (0) · (l) + (l) · (0) = (0,l) · (0,8) + (0,8) · (0,l) = 0,16,

(2) = (0) · (2) + (l) · (l)+ (2) · (0) =

= (0,1) · (0,1)+(0.8) · (0,8)+ (0,1) · (0,1) = 0,66, (3.17)

(3) = (l) · (2) + (2) · (l) = (0,8) · (0,l) + (0,l) · (0,8) = 0,16,

(4) = (2) · (2) = (0,1) · (0,1) = 0,01,

(N>4) = 0.

Таким образом,

= {(0 | 0,01), (1 | 0,16), (2 | 0,66), (3 | 0,16), (4 | 0,01), ...,(N>4|0)}. (3.18)

Закончим построения на числе , используя формулу, которая обобщает (3.17):

(N)= (r)·( N - r)= (r)· (N-r). (3.19)