Дискретно-непрерывная математика (стр. 71 )

1) (G' × А × В), G' — максимальная подгруппа группы G;

2) (G × А × В'), где В' = В—{b} для некоторого b В и матрица С, ограниченная на В' × А, является регулярной (т. е. имеет по крайней мере один ненулевой элемент в каждом строке и в каждом столбце);

3) (G ×А' × В), где А' = А— {а} для некоторого элемента а А и матрица С, ограниченная на В × А ', будет регулярной;

4) (G × А × В) — (G × А ' × В'), где А ' = А — Y и В' = В — X и X × Y представляет собой максимальный «прямоугольник», на котором матрица С тождественно равна нулю.

Кроме того, каждая подполугруппа М полугруппы S, содержащая все, кроме одного F класса, и такая, что М J (M) имеет один из приведенных ранее видов, будет максимальной подполугруппой в S.

Замечание 16. Контрпример, показывающий, что полугруппа (М J )0 не обязательно будет максимальной в полугруппе J0, когда j(М J) представляется выражением 3.1 (см. случай 2, пункт г)), можно построить следующим образом.

Пусть F (Хп), п≥2 есть полугруппа всех функций на последовательности х1, ..., хп длины п с обычным законом композиции. Пусть {х1 ..., хп, z}l— полугруппа, определяемая соотношениям ху = х для всех х, у {х1 ..., хп, z}. Построим полугруппу S=F(Хп) {х1,..., хп, z}, определяя умножение следующим образом. Пусть F (Хп) и {х1, ..., хп, z} — подполугруппы и для всех f F (Хп)

f ○ xі = f (xі) для всех xі Xn,

xі ○ f = xі для всех xі Xn,

f ○ z = z ○ f = z.

Тогда М=F (Xn) { z } есть максимальная подполугруппа полугруппы S и J (М) ={х1 ..., хп, z}. Так как каждый элемент из J (М) является R классом, J[M J(M)] представляется выражением 3.1. Но согласно замечанию 15 j[МJ (M)]0 не является максимальной подполугруппой в j[J(М)0]. Контрпример для выражения (3.2) конструируется дуальным способом.

Микромодуль 8.

Идивидуальные тестовые задачи

1. Покажите, что пересечение левых, правых или двусторонних идеалов (когда оно непустое) будет левым, правым или двусторонним идеалом соответственно. Докажите, что S1∙s есть пересечение всех левых идеалов, которые содержат элемент s и, следовательно, является наименьшим (относительно включения) левым идеалом, который содержит элемент s. Сделайте то же самое для правых идеалов (s∙S1) и двусторонних идеалов (S1sS 1).

2. Проверьте недоказанные пункты утверждения 1.

3. Покажите, что рисовская полугруппа матричного типа является 0-простой тогда и только тогда, когда она регулярна (т. е. ее структурная матрица содержит ненулевой элемент в каждом строке и в каждом столбце). При каких условиях относительно структурной матрицы {0} расщепляет рисовскую полугруппу матричного типа S? Покажите, что в этом случае полугруппа S — {0} — простая (см. замечание 2 микромодуля 7).

4. Вычислите левые, праве, двусторонние идеалы и ядра

а) для Fr(Xn),где Хп — {1, ..., n};

б) для (2 , ) .

5. Докажите, что конечная полугруппа S — простая справа тогда и только тогда, когда она имеет вид G × Вr, где G - некоторая группа и В - некоторое конечное множество. Докажите дуальное утверждение.

6. Докажите, что полугруппа G (быть может, бесконечная) является группой тогда и только тогда, когда она простая справа и справа.

7. Какие результаты утверждения 7 микромодуля 7 неверны для бесконечных полугрупп? Постройте контрпримеры.

8. Определите 0-простые слева полугруппы. Докажите, что Т ≠ {0} будет 0-простоя слева тогда и только тогда, когда Т является простой слева или Т = L0, где L — простая слева полугруппа.

9. Докажите, что утверждение 3 и пункты д) и е) утверждения 5 справедливы для любых полугрупп. Докажите, что пункты а)-г) утверждения 5 справедливы для любых периодических полугрупп.

10. Вычислите L, R,, H и F =D классы для полугрупп:

а) FR(Xn), где Хп = {1.....п};

б) М° (G; А, B; C), где C — регулярная матрица (т. е. каждая ее строка и каждый столбец содержат ненулевые элементы);

в) (2Хп, );

г) для конечной циклической полугруппы.

11. Пусть S— конечная абелева полугруппа, тогда H = L= R = F. Верно ли обратное утверждение?

12. Пусть символ Τ обозначает одно из отношений L, R,, H или F. Если Т подполугруппа полугруппы S и t1, t2 Т, то отношение t1Τ t2 в Т влечет t1Τ t2 в S. Постройте конечную полугруппу S и подполугруппу Т с элементами t1, t2 Т, для которых t1Τ t2 в S, но не в Т. Покажите, что из отношения t1Τ t2 в S вытекает t1Τ t2 в Т, если t1 и t2 являются Τ - эквивалентными в Т с некоторыми идемпотентами и Τ не является отношением F .

13. Пусть полугруппа S 0-простая и 0≠аS. Покажите, что существуют идемпотенты е1, е2 S — {0}, такие что e1 L a и а R е2.

14. Пусть S — конечная полугруппа. Последовательность

К (S) =Iп In-1 ...I0 = S называется композиционным рядом для полугруппы S, если для j = 1..... п Ij есть максимальный идеал в Ij-1. Для j= 1, …, п Fj= Ij-1/Ij и Fn+1 = I0n = K(S)0. F1, ..., Fn+1 называются факторами композиционного ряда. Покажите, что факторы каждого композиционного ряда представляют собой полугруппы {J°: J -регулярный F класс полугруппы S} и совокупность двухэлементных полугрупп с нулевым умножением (N2; см. определение 2), появляющихся как композиционные факторы из нулевых F классов полугруппы S. Что можно сказать в случае, когда полугруппа S будет бесконечной?

15. Для каждого F класса Ј полугруппы FR (Хп), где Хп = (1, ..., п), найдите изоморфизм между Ј° и регулярной рисовской полугруппой матричного типа.

16. а) Определите с точностью до изоморфизма все простые полугруппы порядка р, где р — простое число.

б) Определите с точностью до изоморфизма все полугруппы порядка 3.

17. Пусть S = М (G; А, B; C) яаляется простой полугруппой, т. е. для всех элементов а А, b B C (b, а)≠0. Предположим, что Т — подполугруппа в S и что (g1,a1, b1), (g2, a2, b2) Т. Пусть G1 — подгруппа в G, рожденная элементами gl, g2 и C ({b1, b2} × {al, a2}). Покажите, что множество G1 × { al, а2} × {b1, b2} есть подполугруппа полугруппы Т.

18. Докажите, что любая подполугруппа простой полугруппы простая.

19. Если соотношения ≠A' А и ≠В' B имеют место, сформулируйте необходимые и достаточные условия для того, чтобы множествоМ° (G; А, B; C) — G × А' × В' было подполугруппой полугруппы М° (G; А, B; C). (Что можно сказать о C?)

20. Если S — полугруппа и X S, то PermR(X) — правым преобразователем множества X — называется полугруппа {s S1:Xs = X}. Perm R (X) RI (X). Perm L (X) определяется дуально и