Дискретно-непрерывная математика (стр. 77 )

. Если то

так как J комбинаторный. Аналогично: из равенства следует, чтоПоэтому если Q есть конгруэнтность, индуцированная на S, то Q QL ∩Qr. Очевидно, что

Тепеоь предположим, что класс J некомбинаторный, так что Пусть sl, s2S и предположим, что GMj(sl)=GMj(s2). Пусть (g, a, b), (h, c, d)J. Тогда, поскольку мы имеем

(1)

и

(2)

Если теперь Если то оба элементабудут равны нулю.

Если ψR (s1)(b) ≠ 0, то существует элемент с А, такой, что С [ψR (s1)(b), с] ≠ 0, и в силу соотношения (1) Аналогично из равенства вытекает Следовательно,С другой стороны, нетрудно показать, что таким образом, пункт а) доказан.

б) Этот пункт следует из предложения 2.6 и пункта а), так как для регулярного класса J конгруэнтности и равны.

Исследуем теперь природу полугрупп

2.13. Утверждение. Пусть J ≠ {0} — регулярный F класс полу­группы S.

а) Ограничение гомоморфизма RMJ на подгруппы (следовательно, H классы) класса J взаимно однозначно. RMJ (S) имеет единственный 0-минимальный регулярный идеал I, который представляет собой об­раз J F(J), и каждый элемент из RMJ (S) есть отдельный правый перенос идеала J. Таким образом, гомоморфизм MRI будет взаимно однозначным на RMJ (S).

б) Ограничение гомоморфизма LMJ на подгруппы (следовательно, H классы), принадлежащие классу J, взаимно однозначно. LMJ (S) имеет единственный 0-минимальный регулярный идеал I, представ­ляющий собой образ— взаимно однозначный гомо­морфизм на LMJ(S).

в) RLMJ (S) содержит единственный 0-минимальный регулярный

комбинаторный идеал I, являющийся образом — взаимно однозначный гомоморфизм на RLMJ (S).

г) LLMJ (S) содержит единственный 0-минимальный регулярный комбинаторный идеал I, являющийся образом— взаимно однозначный гомоморфизм на LLMJ (S).

д) Ограничение гомоморфизма GGMJ на подгруппы (следовательно, H классы), принадлежащие классу J, взаимно однозначно. GGMJ(S) содержит единственный 0-минимальный регулярный идеал I, который представляет собой образ — взаимно однознач­ные гомоморфизмы на GGMJ (S).

е) Полугруппа GMJ(S) или совпадает с {0}, или равна GGMJ(S). Еслито I —не комбинаторный идеал.

Доказательство. Мы будем доказывать, что MRI — взаимно одно­значный гомоморфизм на RMJ (S). Другие утверждения следуют из определения RMJ.

Пусть таковы, что

для всехТак как J отображается на I= {0}, это экви-

валентно тому, что для всех jJ. Следовательно, для всех j1 J мы имеем. Так как класс J регулярный, для каждого элемента j существует левая единица, например еj. Тогда поэтому для всех jJ. Следовательно, — взаимно однозначный гомоморфизм на RMJ (S).

Доказательство пунктов б) — е) основывается на доказательстве пункта а).

Теперь дадим наименования полугруппам, обладающим рассмот­ренными свойствами.

2.14. Определение. a) S называется отображающей справа полу­группой (RM), если она содержит минимальный или 0-минимальный идеал I, для которого MIR — взаимно однозначный гомоморфизм.

б) S называется отображающей слева полугруппой (LM), если она содержит минимальный или 0-минимальный идеал, для которого MIL — взаимно однозначный гомоморфизм.

в) S называется отображающей справа символьной полугруппой (RLM), если S есть RM полугруппа, идеал I которой будет комбина­торным (см. пункт в) утверждения 2.15).

г) S называется отображающей слева символьной полугруппой (LLM), если S есть LM полугруппа, идеал I которой будет комбина­торным.

д) S называется обобщенной групповой отображающей полугруп­пой (GGM), если S есть RM и LM полугруппа.

е) S называется групповой отображающей полугруппой (GM), если S есть GGM полугруппа, идеал I которой будет некомбинаторным.

2.15. Утверждение. а) Пусть J — регулярный F класс полугруппы S. Тогда— соответственно RM, LM, RLM, LLM, GGM и GM полугруппы. Кроме того, GM, GGM и LLM полугруппы будут LM полугруппами и GM, GGM и RLM полугруппы будут RM полугруппами. Если S есть GGM полугруппа, не являющаяся GM полугруппой, то S есть и RLM и LLM полугруппа.

б) Если S≠{0}, то идеал I, упоминающийся в каждом пункте определения 2.14, необходимо будет регулярным и ненулевым.

в) Пусть I — минимальный или 0-минимальный идеал полугруппы S≠{0}, для которого MIR или MIL — взаимно однозначный гомомор­физм. Тогда I будет единственным (кроме, быть может, 0) минимальным или 0-минимальным идеалом полугруппы S. Следовательно, идеал I в каждом пункте определения 2.14 будет единственным.

Доказательство, а) Этот пункт следует из утверждения 2,13,

б) Предположим, что не равный нулю F класс в I является нулевым. Тогда В каждом пункте определения 2.14 одно из отображений MIR или MIL было взаимно однозначным. Таким обра­зом, I= {0} противоречит сделанному предположению.