Дискретно-непрерывная математика (стр. 24 )

Возьмем другую структуру, которая состоит из множества С и операции . ( и должны иметь тот самый порядок. Например, если одна из них есть бинарной, то и другая должна быть такой же. Можно ввести и другие операции на С, однако здесь мы их не рассматриваем). Если существует отображение φ: А→ С такое, что

φ (х у) = φ (х) φ (у)

для любых х и у из А, то φ называют гомоморфизмом. Если существует гомоморфизм между А и С, то в некотором смысле образ (φ(A), ) гомоморфизма из (А, ) ведет себя подобно прообразу, так как мы можем выполнить операцию на А, а затем отобразить в С (посредством φ) или сначала отобразить в С, а затем выполнить операцию . В обеих случаях результат будет один и тот же. Поэтому мы можем делать так, как нам удобнее. Эту ситуацию можно пояснить с помощью коммутативных диаграмм, изображенных на рис. 1.36.

Рис. 1.36

Диаграмма на рис. 1.36, а указывает включаемые множества или структуры, а диаграмма на рис. 1.36, b связывает отдельные элементы. На рис. 1.36, b справа зображены две разлияные формы одного и того же результата. Коммутативность диаграммы следует из определения операций.

На самом деле мы получаем φ=φ, что не является в строгом смысле коммутативностью, так как и существено разлияны. Однако обе части равенства означают комбинации операций одного и того же порядка и, следовательно, подходят под общее определение

отображение операция = операция отображения.

Напомним еще одно определение. Гомоморфизм, который является инъекцией, называют мономорфизмом, гомоморфизм, который является сюръекцией, называют эпиморфизмом, а гомоморфизм, который является биекцией, называют изоморфизмом. Если существует изоморфизм между двумя структурами, то говорят, что они изоморфны.

Как мы знаем, слово «изоморфное» означает «той же самой формы», и поэтому, кажется, разумно ожидать, что изоморфизм должен быть в состоянии разделить множества всех алгебраических структур на классы эквивалентности.

Пример 1. Структуры ({ , E}, , )}( где E - разбивка), и ({0, 1} , ) изоморфны.

Доведение. Пусть φ( )=0 и φ(E)=1. Ясно, что φ - биекция. Тогда

φ (E ) = φ ( ) = 0 =0 0= φ ( ) φ ( ),

φ ( E) = φ ( ) = 0 = 1 = φ ( ) φ (E),

φ (E ) = φ ( ) = 0 = 1 0 = φ (E) φ ( ),

φ (E E) = φ (E) = 1 = 1 1 = φ (E) φ (E),

φ ( ) = φ ( ) = 0 = 0 0 = φ ( ) φ ( ),

φ ( E) = φ (E) = 1 = 0 1 = φ ( ) φ (E),

φ (E ) = φ (E) = 1 = 1 0 = φ (E) φ ( ),

φ (E E) = φ (E) = 1 = 1 = φ (E) φ (E).

Таким образом, φ является гомоморфизмом и, следовательно, изоморфизмом.

В заключение отметим, что структура может быть изоморфна самой себе (имеется в виду изоморфизм, отличный от тривиального) и может также быть изоморфна одной из своих подструктур (это возможно лишь для бесконечных множеств).

Определение. Если область определения и область значений отображения совпадают, гомоморфизм называют эндоморфизмом, а изоморфизм называют автоморфизмом.

Пример 2. Для заданного множества А структура (Р(А), , ) изоморфна (Р(А), , ) с отображением φ: X→ X'.