Дискретно-непрерывная математика (стр. 115 )

В этом выражении можно узнать преобразование свертки, используемое в теории вероятностей и в преобразованиях линейных функций.

Для имеем

(3.20)

Таким образом,

= {(0 | 0,001), (1 | 0,024), (2 | 0,195), (3 | 0,560), (4 | 0,195),

(5 | 0,024), (6 | 0,001).....(N > 6 | 0)}. (3.21)

Таким путем процесс построения продолжается далее. Отметим, что нечеткий характер построенных чисел проявляется все сильнее с ростом их значений.

Позднее мы познакомимся с некоторыми частными свойствами группоидов. Здесь же отметим, что построенные нами группоиды имеют следующие свойства:

(*) * = *( * ) - ассоциативность, (3.22)

* = * - коммутативность. (3.23)

При этом (п) нужно выбирать такими, чтобы

(г)= 1.

Это условие отвечает использованию произведения - свертки (3.19).

Пример 3. Возьмем функцию принадлежности, которую можно рассматривать как закон распределения вероятностей. Рассмотрим два нечетких подмножества R и R, с помощью которых получим другие нечеткие подмножества (таким образом мы рассматриваем и как нечеткие множества, которые порождают бесконечное число других нечетких подмножеств). Пусть

Теперь рассмотрим следующий закон композиции:

(3.24)

Он определяет нечеткое число *.

Аналогично порождаются другие нечеткие числа:

* , * , * * , * * ,..., r*s,...,

где верхние индексы указывают на то, что проведено r — 1 композиций нечеткого числа и s — 1 композиций нечеткого числа .

Из двух нечетких чисел и можно образовать композиции

, , * , * , * ,..., r*s,...

и множество

Q = { , , * , * , * ,..., r*s,...},

наделенное структурой группоида, который к тому же обладает свойствами ассоциативности и коммутативности, присущими закону (3.24).

3.18. Основные свойства нечетких группоидов

Пусть * есть закон внутренней композиции нечеткого группоида; определим несколько свойств группоидов. Группоид будет обозначаться

(P (Е), *).

Коммутативность. Если для всех упорядоченных пар

( , ) P (Е) × P (Е) выполняется условие

* = * ,

то говорят, что закон внутренней композиции коммутативен; также говорят, что группоид коммутативен. Например, группоид на рис. 3.25 коммутативен, в то время как на рис. 3.24 - нет. Для примера на рис. 3.25 можно проверить, что

{(A|l/2), (В|1)} {(А|1), (В|0)}= {(А|1/2), (В|0)},

{(A|l), (В|0)} {(А|1/2), (В|1)} = {(A|l/2), (B|0)}.

Исходя из данного определения закона * для нечетких подмножеств, можно заключить, что если

это из коммутативности для следует коммутативность для * и наоборот. Очевидным примером служат выражения (3.13) и (3.14).

Ассоциативность. Если

, , :( * )* = *( * ),