Дискретно-непрерывная математика (стр. 102 )

2) Ниль-нитью называется полугруппа, которая изеоморфна полугруппе [1/2,1] с законом умножения, определенным соотношением ху =mах {1/2, обычное произведение элементов х и у} [см. пример 2 (1)].

3) Мин-нитью называется дуга, для которой задано упорядочение разделяющих точек, а закон умножения определяется соотношением

ху=min{x,у}. (На дуге А упорядочение разделяющих точек определяется следующим образом: выбирается одна концевая точка а и для х, у А кладется х ≤ у тогда и только тогда, когда х = а или х = у, или х разделяет точки а и у в А. Доказано, что этот порядок линеен.)

Теорема 1. Пусть S является І полугруппой. Зададим упорядочение розбивающих точек, выбрав в качестве минимального элемента нуль. Тогда Е(S) замкнуто и для х, у Е (S) ху =min {x, у}. Дополнение Е(S) будет объединением не имеющих общих элементов открытых интервалов и если Р — один из них, то Р* будет подполугруппой в S, являющейся единичной нитью или ниль-нитью. И наконец, если х Р и у Р, то ху = min {x, у}. В частности, S — абелева полугруппа.

Не все нити являются абелевыми полугруппами, неабелевыми могут быть даже те из них, концевые точки которых идемпотентны. Это показывает следующий пример.

Пример 1. Пусть S — подмножество в плоскости, определяемое соотношением

S = ([0, 1] × 0) (0 × [0, 1]) (см. рис. 3.4).

Рис.3.4

Определим умножение в S, полагая

(х, у) (х', у') = (хх', ху' + у).

Мы получили неабелеву нить с единицей, но без нуля. Однако каждый элемент р, принадлежащий вертикальному сегменту, будет левым нулем, т. е. pS=р. Заметим, что горизонтальный сегмент является единичной нитью.

В соответствии с теоремой 1 нить только с двумя идемпотентами — концевыми точками (т. е. І полугруппа, которая не имеет внутренних идемпотентов), является или единичной нитью или ниль-нитью. Уоллес изучал клетки более высокой размерности, однако для этого случая практически ничего не известно.

Рассмотрим, какова структура полугруппы, если ее пространство есть произвольная п клетка для п>1 и если потребовать, чтобы множество идемпотентов совпадало с границей? В частности, обладает ли 2-клетка строением соответствующей полугруппы?

В примере 3(3) будет представлена полугруппа, пространство которой есть 2-клетка и идемпотентами которой являются граничные точки и еще одна внутренняя точка. Однако нет стандартной процедуры, которая бы исключила внутренний идемпотент из этой полугруппы. В общем случае определить построение полугруппы с необходимыми геометрическими свойствами на пространстве S очень трудно, как правило, несколько легче подобрать непрерывную функцию S × S →S с этими свойствами, но получить еще при этом закон ассоциативности тяжело. Поэтому новые примеры обычно строятся с помощью уже известных полугрупп; приемы построения этих примеров описаны в разделе 3.13.

Заодно упомянем, что из теоремы Коэна и Круля следует, что нетривиальный гомоморфизм из действительной І полугруппы сохраняет размерность, хотя в общем случае мало что можно сказать об изменении размерности при гомоморфизмах полугрупп. Существуют примеры гомоморфизмов из компактных полугрупп на полугруппы более высокой размерности. Это, конечно, невозможно для групп (как следует из результатов Монтгомери и Зиппина).

Под размерностью мы понимаем индуктивную или топологическую размерность.

Определение 2. Однопараметрической полугруппой в S называется функция σ: [0, 1]→ S, которая непрерывна, взаимно однозначна и удовлетворяет соотношению σ (х + у) = σ (х) σ (у) всякий раз, когда

х, у, х + у [0,1]. σ ([0,1]) есть дуга как подпространство в S, поскольку [0,1] компактен, S хаусдорфово, а σ непрерывна и взаимно однозначна, откуда следует, что σ-гомеоморфизм [0, 1] в S. Как правило, мы будем называть образ отрезка [0,1] относительно отображения σ однопараметрической полугруппой. Отметим, что этот образ не обязан быть подполугруппой в S, так как отрезок [0,1] не замкнут относительно сложения. В качестве примера однопараметрической полугруппы, которая не является подполугруппой, возьмем интервал [1/2, 1] действительной оси, где S есть единичный комплексный круг с обычным комплексным умножением (см. рис. 3.5).

Рис. 3.5

Лемма 1. Если е Е(S), тo существует максимальная подгруппа Н(е) полугруппы S, содержащая е, и Н(е)={xeSe|хх'=е= х'х для некоторого

х' Se} ={x S|x x = e eS и x S x = e Se}.

В 1960 г. Мостерт и Шайлдз опубликовали следующую теорему, которая все еще является основным инструментом для изучения полугрупп. Первый вариант теоремы, в котором требуется, чтобы Н(1) была группой Ли, появился в 1957 г. Скажем, что дуга А в S выходит из идемпотента eS тогда и только тогда, когда АН (е) =е. Пример однопараметрической полугруппы, данный в определении 2 служит также примером дуги, которая выходит из идемпотента.

Теорема 2. Пусть S — локально компактная полугруппа с единицей 1. Предположим, что существует компактная подгруппа G в Н (1), открытая в Н (1), но не являющаяся открытой в S. Предположим, что существует окрестность 1, не содержащая других идемпотентов. Тогда S содержит однопараметрическую полугруппу, которая выходит из 1.

Несмотря на то, что с момента появления первого варианта этой теоремы прошло десятки лет, доказательство ее все еще встречает трудности. Мостерт и Шайлдз отмечают, что если им не нужны вызодящие однопараметрические полугруппы, то они могут использовать теорему Глисона, гарантирущую существование однопараметрических групп в локально компактных группах и которая доуазывается легче. В результате теоремы Мостерта и Шайлдза естественно возникает вопрос, существует ли дуга или однопараметрическая полугруппа, которая выходит из неизолированного идемпотента, и является ли однопараметрическая полугруппа в S подмножеством нити, которая принадлежит S. Как показывают примеры, приведенные далее, ответы на эти вопросы отрицательны, хотя справедливо, что бинг должен вести себя достаточно хорошо около идемпотента вне К(S), так как Кох доказал, что каждая окрестность такого идемпотента содержит дугу. Однако эти дуги могут не содержать идемпотент, они не обязаны быть подполугруппами в S или даже однопараметрическими полугруппами.

Определение 3. Произведением полугрупп S и W называется декартово произведение пространств S × W с покоординатным законом умножения, т. е. (х, у) (х1, у') = (хх1, уу').

Примеры 2. Пусть І=[0,1 ] — действительный отрезок с обычным умножением, С — единичная окружнсть, a D — единичный круг в комплексной плоскости с обычным комплексным умножением.

1) I × С — полугруппа, пространство которой есть боковая поверхность цилиндра, с единицей (1,1) и минимальным идеалом 0×С.

Положим

S =(0 × С) {(e-t, e2πit )|0≤t<∞},

так что S есть базисная окружность 0×С вместе с бесконечной спиральной обмоткой вокруг нее (см. рис. 3.6).

Рис. 3.6

Заметим, что S является кланом с единицей (1,1) и К (S) = 0 × С. Любая дуга в S, что выходит из (1,1), есть однопараметрическая полугруппа, но наименьший подбинг, содержащий такую дугу, есть вся полугруппа S. Следовательно, не существует такой дуги, которую можно было бы продолжить до нити в S. Мы будем называть полугруппу S единичной спиральной полугруппой.

Рис. 3.7

2) І×D есть полугруппа, пространство которой — цилиндр, с единицей (1,1) и минимальным идеалом (0,0) (см. рис.3.7). Спиральная полугруппа S, определенная в пункте 1, будет подполугруппой в І×D; Т=S (0×D) также будет подполугруппой. Т есть объединения спиральной обмотки, которая начинается с нижнего основания цилиндра плюс это основание. Заметим, что Т является кланом с единицей (1,1) и нулем, К(Т)=(0,0). Таким образом, мы опять получаем, что любая дуга, выходящая из точки (1,1), является однопараметрической полугруппой, но ее нельзя продолжить до нити в Т.

3) Этот пример принадлежит Хантеру. Мы получим клан Т′, в котором нет дуг, выходящих из единицы, и вообще единица не лежит в дуге. И дуга, конечно, не будет открытой в Е (Т′). В пространстве Е3 рассмотрим круг Dі, определяемый соотношениями х2 + у2 ≤ (1/i) и z=1-(1/i), где i = 1, 2, 3,..., так что круги Di сходятся к точке и= (0, 0, 1). Из центра круга Di+1 проводим криволинейный луч Аі, который остается в пределах конуса, определяемого центром круга Di+1 и границей круга Dі и обматывается над границей D, как в примере 2. Положим Tі = Aі Di и для каждого i = 1, 2, 3,... зададим в Tі умножение так же, как оно определялось для Т в примере 2. Тогда центр круга Di будет нулем для Tі. Пусть T∞ = и и Т′ {Tі |i =∞, 1, 2, ...}. Дополним oпределение умножения в Т′ следующим образом: будем считать, что ∞ больше любого целого числа и если х Tі, y Tj и i < j, тo положим ху = yх = х. Тогда Т′ будет кланом с нулем K(Т) = (0, 0, 0) и единицей u и в Т′ нет дуги, содержащей точку и (см. рис. 3.8).