Дискретно-непрерывная математика (стр. 15 )

Таким образом, в общем случае отношения порядка типа «больше», «меньше» и т. п. на множестве нечетких чисел являются нечеткими. Лишь в том случае, когда пересечение носителей нечетких чисел А и В пусто, отношение между числами будет четким. Например, пусть А0 и В0 — нечеткие числа (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Нечеткие числа с четким отношением порядка

Исходя из рис. 1.12 и сказанного выше можно заключить, что А0<В0, В0>А0.

1.10.3. Индексы ранжирования нечетких чисел.

Результат расчетов в модели ПР в нечеткой среде (интегральная оценка альтернативы), как правило, является нечетким числом. Поэтому необходимо определить процедуру сравнения нечетких чисел. Пусть А и В — два непрерывных нечетких числа:

и

Все предложенные процедуры основаны на вычислении некоторой четкой функции Н(А, В) от нечетких аргументов А и В, которая называется индексом ранжирования. Значение индекса для конкретной пары чисел дает основание решить вопрос о том, какое из двух чисел больше (или - с какой степенью больше). Приведем ряд индексов ранжирования.

(1.64)

где μV(a, b) — функция принадлежности нечеткого отношения предпочтения между четкими числами а и b. В частности, в качестве V может быть избрано четкое отношение V1 с функцией принадлежности

μ(a, b)= 1 а≥b

и

μ(a, b)= 0 а<b.

Тогда H1 совпадает с индексом, в общем случае

H1(A, B) ≥H1{B, A) A≥B.

Н1(А, В) — это стeпень принадлежности пары нечетких чисел А и В к нечеткому отношению .

(1.65)

где Аα — α-уровневое множество нечеткого числа А,

М(Аα) = = (a0 + a+)/2, a0= a, a+= a.

Имеется более простое выражение для индекса Н2: вместо Н+(А) берется величина

Здесь Н2(А, B)≥0 A≥B.

3. Индекс, предложенный в одной из работ, определяется как вероятность того, что четкое значение pv(А) нечеткого числа А будет больше или равно четкому значению pv(В) нечеткого числа В:

Н3(А, В)=Р(pv(А) ≥ pv(В)). (1.66)

Пусть

где (a1, a2)=SA, (b1, b2)=SB. Тогда в частном случае (при независимых вероятностных распределениях)

где vA(·),vB(·) вычисляются по (1.61). Если Н3(А, В)≥Н3(В, А), то А≥В, или

Н3(А, B)≥0,5 A≥B.

4. Еще один индекс, предложен в одной из работ,

(1.67)

где D=A/(A+B). При этом Н4(А, B)≥0,5 A≥B.

5. Еще один индекс, предложен в одной из работ:

(1.68)

(1.69)

(1.70)

(1.71)

Здесь Нi5(А, В)≥Н i5 (В, A) A≥B (i=1,2,3,4).

Процедуры ранжирования п нечетких чисел обсуждаются в некоторых роботах. Здесь в качестве степени предпочтительности числа Аі над остальными числами выбрана величина

(1.72)

где H(Ai, Aj) - степень принадлежности пары нечетких чисел (Аі, Aj) к нечеткому отношению «>», вычисляемое по одной из формул (1.64) - (1.71).

1.10.4. Анализ индексов ранжирования.

В ряде работ показано, что

Рассмотрим связь индексов Н3 и Н4. Согласно определению Н3 нечеткое число D=A/(A + B)≥0,5, если Н3(D , 0,5) ≥0,5, или

Отсюда

т. е. Н4(А, В) ≥0,5. Значит, определения отношения «>» по индексам Н3 и Н4 связаны: А≥В по индексу Н4(Н4≥0,5), если не меньше 0,5 вероятность того, что четкое значение нечеткого числа D =А/(А + В) больше 0,5 (т. е. H3(D, 0,5) ≥0,5).

Рассмотрим индексы Н3 и Н15. Физическое содержание величины

Н15(А, В) - возможность того, что рv(A) ≥рv(В); смысл величины H3(A, В) - вероятность того, что ру(A) ≥рv(B). Пусть

K={(а, b) :а≥b, a SA, b SB}.

С учетом определений рассматриваемых индексов и того, что значения функций принадлежности находятся на отрезке [0, 1], получаем

Величину С можно представить в виде

Отсюда

и

Нетрудно показать, что выражение в квадратных скобках не меньше единице, поэтому

В ряде работ показано, что индекс Н15 выделяет в качестве наибольшего нечеткое число А, у которого величина

является наибольшей (т. е. число, у которого конец «пика» функции принадлежности расположен правее). При этом форма функции принадлежности не учитывается, что снижает «розделяющую» способность индекса. Из вышеперечисленных индексов ранжирования форму функции принадлежности учитывают индексы Н2, Н3, Н4. Высказана гипотеза о том, что для простых функций принадлежности эти индексы дают одинаковые ранжировки. Вычисление значений индексов ранжирования, которые проведены по программе на Фагол, дали результаты, которые представлено в табл. 1.13.

Таблица 1.13

Результаты ранжирования

Еще одна возможность ранжирования состоит в использовании обобщенных максимума и минимума. Для нечетких чисел А и В обобщенные максимум и минимум определяются функциями принадлежности μmax и μmin соответственно:

(1.73)

Тогда результат ранжирования — нечеткое число , которое в общем случае не совпадает ни с А ни с В. Выражения (1.73) получены по принципу обобщения из обычных определений максимума и минимума и могут быть распространены на случай п нечетких чисел.

Микромодуль 3.

Основные понятия и фундаментальные алгебры

1.11. Основные понятия

Алгеброй А называется совокупность < > множества М с заданными в нем операциями S={f11,f12,...,f,f21, f22,…,f,…,fm1,fm2,…,f }, A=<(M, S)>, где множество М — носитель, S — сигнатура алгебры. Первый нижний индекс у идентификатора операции указывает ее местность.

Замечание. Для идентификации единого целого, содержащего объекты, которые имеют различное математическое построение, например множества и операций в нем, было предложено использовать термин совокупность и обозначать его угловыми скобками < >.