Дискретно-непрерывная математика (стр. 87 )

Во втором случае, так как φ на J есть γ(H) гомоморфизм, имеемВ обоих случаях, таким образом, и φ взаимно однозначно на S.

в) Этот пункт доказывается с помощью пункта б) и построения полугруппы Sγ.

Следовательно, доста­точно доказать, что S→→RLM(S) есть L ′ гомоморфизм, и если то

Из доказательства предложения 2.17 имеем

где и ограничение

на S приводит к

Определим подполугруппу

тогда и только тогда, когда f2 (b) = 0}. Покажем, что ограничение р1 на Т будет гомоморфизмом, так что есть

гомоморфизм, поскольку S Т.

Мы должны показать, что любые два элемента из T с одинаковыми первыми координатами будут , эквивалентны. Пусть Положим Определим (h1, 1) и (h2, 1) Т, полагая

Тогда

,

поэтому

д) Поскольку S есть GM полугруппа, то ее отмеченный F класс бу­дет некомбинаторным или S = {0}. Но так как S есть RLM полугруппа, она не может иметь некомбинаторный отмеченный F класс. Следова­тельно, S = {0}.

3.26. Обозначения. Условимся, что для полугруппы S тройка (J, G, N) обозначает, что J есть F класс полугруппы S, G — максимальная подгруппа в J и N — нормальная подгруппа группы G (записы­вается как N G).

3.27. Определение. а) Пусть S — полугруппа и пусть (J, G, N) принадлежит S. Представим J0 с помощью рисовской полугруппы

M 0(G; А, В; С). Определим полугруппу S/(J, G, N), полагая

S/(J, G, N)=[S/F(J)]/≡, где ≡ есть тождественное отношение конгруэнтности нa [SIF(J)]—J и задается гомоморфизмом (g,a,b)→(ω(g),a,b) на J , где ω:G→→G/N — канонический гомоморфизм групп. Легко проверить, что если для полугруппы J0 выбрана другая система координат М0 (G; А, В; Р) (с группой G), то отношение конгруэнтности ≡ останется неизменным, т. е. S/(J, G, N) не зависит от выбора системы координат (с группой G). S/(J, G, N) содержит единственный регулярный 0-минимальный идеал, а именно образ J F(J).

б) Пусть S — полугруппа и тройка (J, G, N) принадлежит S. Оп­ределим полугруппу GM (J, G, N) как GM [S/(J, G, N)].

в) Пусть Т—полугруппа с единственным регулярным 0-минималь-ным идеалом I. Пусть задан эпиморфизм φ : S→→Т. Определим тогда ядро φ как тройку (J, G, N), где J — единственный минимальный ре­гулярный F класс полугруппы S, содержащийся в φ-1(I#), G — любая максимальная подгруппа класса J, N — (групповое) ядро ограниче­ния φ на G (т. е. если 1 — единичный элемент группы G, то

N = {gG: φ (g) = φ (l)}).

3.28. Предложение. Пусть φ — гомоморфизм полугруппы S на GM полугруппу и (J, G, N) — ядро гомоморфизма φ. Пусть P — свойство гомоморфизмов полугруппы S. определяемое следующим образом:

и групповое ядро ограничения ψ на G содержится в N}. Тогдабудет минимальным гомоморфным образом S относительно P.

Доказательство. Заметим, что Теперь мы должны

показать, что если для некоторых элементов s1, s2S,

то для всех Так как φ(S) есть GM полугруппа

по отношению к отмеченному идеалу из соотношения

вытекает существование таких элементов j1, j2 J, что Если один из этих элементов, например

φ (j1s1j2), равен нулю, то

тогда как так что для всехгр ψ P, откуда следует, что

Поэтому предположим, что Тогда

и, следовательно, существуют такие элементы х, у S1, что

Пусть Тогда Пусть К — ядро ограничения ψ на G. Так как KN, имеем

(

поэтому

3.29. Замечание. Непосредственным следствием предложения 3.28 является результат: если тройка (J, G, N) есть ядро гомоморфизма φ : S→→Т, где Т есть GM полугруппа, то

Следовательно, для каждого GM гомоморфного образа полугруппы S существует внутреннее кодирование, а именно одно из ядер (J, G, N) гомоморфизма, и не имеет значения, какое ядро выбирается, GM по­лугруппа может быть восстановлена, так как она изоморфна GM (J, G, N).

3.30 Утверждение, а) Пусть S — полугруппа и G1, G3 — две максимальные подгруппы в S. Пусть е1 и е2 — единицы групп G1 и G2 соответственно. Если , то и , а отображение , будет изоморфизмом. Если то G1=G2e1 и G2=G1e2, а отображение