Дискретно-непрерывная математика (стр. 118 )

Это свойство — общее для любого (Е), коким бы не было Е, поскольку, как мы видели, (E) всегда образует векторные решетки по отношению включения [т. е. (х)≤(х)], для которого можно всегда рассматривать и .

Подгруппоиды. Любое подмножество (Е), которое замкнуто относительно закона *, называется подгруппотдом группоида (Е, *) и обозначается ( E, *) или ( , *), если не возникает путаницы.

3.19. Нечеткие моноиды

Нечетким моноидом называется любой ассоциативный нечеткий группоид, имеющий единицу. Отметим, что много авторов не требуют в этом определении обязательного наличия единицы, но мы будем полагать это требование выполненным во всем, что будет рассматриваться ниже.

Если моноид к тому же имеет свойство коммутативности, его называют коммутативным моноидом.

Все следующие ниже нечеткие группоиды, которые определены с помощью их функций принадлежности, внутренние законы которых также определены и указаны ниже, являются моноидами и при том коммутативными.

(3.28)

Ассоциативность группоида ( (Е), ) очевидна. Единицей служит универсальное множество Е.

(3.29)

Ассоциативность группоида ( (E), ) очевидна. Единицей служит . Группоид

(3.30)

ассоциативный, с единицей Е.

Группоид

(3.31)

ассоциативный, с единицей .

Уравнения (3.30) и (3.31) будут определять внутренние законы при условии, что М = [0, 1] или М = {0, 1}. Однако эти уравнения могут и не задавать внутреннего закона, например, для М = {0, 1/2, 1}, так как

(1/2) (1/2) = 1/4 М.

Группоид

(3.32)

ассоциативный, с единицей .

Нечеткий моноид обозначается (Е,*) или, что предпочтительнее, ( (Е), *).

Рассмотрим несколько нечетких группоидов, которые не является моноидами.

Пример 1. Пусть * определяется соотношением

Положим

(3.33)

и обозначим

Легко показать, что

т. е.

Например, если

а =0,3, b = 0,5, с =0,9,

то имеем

|| а-b |-с | = || 0,3-0,5| —0,9| = |0,2 — 0,9| = 0,7,

| а — | b-c || = | 0,3 — | 0,5—0,9|| = | 0,3 —0,4 | = 0,1.

Этот коммутативный группоид не моноид, поскольку не обладает свойством ассоциативности.

Пример 2. Используя обозначение (3.33), положим

Имеем

(а b) с = (а + kb — ab) + kc — (а + kb — ab)c =

= a + kb+kc—ab — ac — kbc + abc,

a (b c) = a + k(b + kc-bc) - a(b + kc-bc) =

= a + kb + k2c — ab — kac — kbc + abc,

(a b) с — a (b c) = kc — k2c — ac + kac =

= с (1 — k) (k — a).

Таким образом, свойство ассоциативности не выполняется, за исключением случая k = 1.

Нечеткий подмоноид. Пусть ( (Е),*) — нечеткий моноид и (Е) замкнуто относительно закона *, тогда будет называться нечетким подмоноидом моноида и обозначаться ( , *).

Пример. Рассмотрим моноид ( (E), ) (рис. 3.28). На

рис. 3.28 - 3.30 представлены подмоноиды этого моноида:

= {(0, 0), (1/2, 1)},

' = {(0, 0), (0, 1/2), (1, 1/2)},

" = {(0, 0), (0, 1/2), (1/2, 0), (1/2, 1/2), (1/2, 1)}.

Рис. 3.28

Рис. 3.29

Рис. 3.30

Существует несколько других таких подмоноидов, которые читатель может сам перечислить как упражнения.

Конечно, все эти моноиды должны включать единицу (0, 0) [см. (3.29)].

Теорема. Если ( , *) и (', *) — подмоноиды моноида ( (Е), *), то ( ', *) — подмоноид моноида ( (Е), *).

Доказательство. Очевидно, что для пересечения моноидов сохраняется единица и выполняется свойство ассоциативности. Теперь покажем, что ' замкнуто относительно операции *.

Пусть ( , ) '. Тогда * по предположению принадлежит и ' (поскольку в противном случае или (и) ' не будут замкнутыми относительно *); но тогда * принадлежит ' и, значит, ' замкнуто относительно *.