Дискретно-непрерывная математика (стр. 50 )

Таким образом, любая точка Р на сфере S имеет N эквивалентных ей точек, которые получаться, если применять к Р все повороты из группы Г. Если точка Р не является полюсом, то все эквивалентные ей точки разлисны между собой. В самом деле, если несколько эквивалентных точек совпадают с точою Р', то эта точка будет полюсом некоторого поворота R', но тогда точка Р будет полюсом поворота R.

Если же точка Р есть полюс n-го порядка для поворота R, то она совпадает с п — 1 эквивалентными ей точками. Пусть теперь Р' — некоторая точка, эквивалентная точке Р и получающаяся из нее поворотом R': Р' = R'(Р). Тогда п из точек, эквивалентных точке Р, а именно точки R' (P), RR' (P), R2R' (P).....Rп-1R' (P), будут совпадать с точкой Р'.

Других точек, эквивалентных точке Р и совпадающих с Р', не существует. Действительно, если бы такие точки существовали, то Р' была бы полюсом поворота порядка т, причем т>п. Но тогда и точка Р, которая получается из Р' поворотом (R')-1, была бы полюсом поворота порядка т. Следовательно, все N точек, эквивалентных полюсу n-го порядка Р, по п совпадают между собой. Таким образом, в этом случае точка Р имеет всего лишь N/n различных эквивалентных ей точек, учитывая и самое точку Р.

Пусть теперь Р1, ..., Pk — неэквивалентные полюсы поворотов, которые входят в группу Г, п1, ..., nk — порядки этих полюсов и N — порядок группы Г.

Предложение 12. Числа N, n1, ..., пk связаны между собой следующим соотношением:

(2.48)

Доказательство. Подсчитаем число поворотов, которым принадлежат данные неэквивалентные полюсы Р1, ..., Pk. Полюс Р1 имеет порядок п1; только что мы установили, что эта точка имеет N/n1 различных эквивалентных ей точек. В то же время Р1 есть полюс п1—1 поворотов, не считая тождественного. Каждая из точек, эквивалентных точке Р1, также будет полюсом п1 — 1 поворотов. Поэтому всего мы имеем — (N/n1)(п1—1)=N(1-1/n1) поворотов. Аналогичные вычисления можно проделать и для всех остальных полюсов, в результате чего мы получим полное число поворотов

В это число не вошел тождественный поворот, зато каждый из N —1 оставшихся поворотов вошел ровно два раза (ведь все полюсы разбиваются на пары диаметрально противоположных). Следовательно,

откуда

что и требовалось доказать.

Соотношение (2.48) позволяет описать все конечные подгруппы группы перемещений пространства.

Теорема 5. Конечные циклические группы (группы правильных пирамид), группы диэдров и группы правильных многогранников являются единственными конечными подгруппами группы перемещений пространства.

Доказательство. Так как числа n1.....nk в соотношении (2.48) больше или равны 2, то 1-(1/nj)>1/2 для всех j=1,..., k. Поэтому число k не может превосходить трех, поскольку правая часть 2—(2/N) соотношения (2.48) строго меньше 2. В то же время 2—(2/N )≥1

а каждая из скобок в левой части (2.48) меньше 1. Следовательно, число k не может быть равным 1. Итак, для числа k имеются две возможности: k=2 и k=3.

I. k=2. В этом случае соотношения (2.48) превращается в

или в

(2.49)

Уравнение (2.49) имеет единственное решение п1=п2=N. Действительно, в противном случае одно из чисел п1 или п2 превосходило бы N, что невозможно, поскольку N должно быть кратным чисел п1 и п2.

Так как N/n1= N/n2= 1, то имеется всего лишь два различных полюса поворота и, значит, единственная ось поворота.

Все повороты вокруг этой оси представляют собой степени данного из них, т. е. мы имеем циклическую группу конечного порядки. Такую группу самосовмещения правильного многогранного угла, или, что то же самое, самосовмещения правильной пирамиды.

II. k =3. В этом случае по крайней мере одно из чисел п1, п2 или п3 равно 2, так как если бы одновременно п1≥3, п2≥3 и п3≥3, то

1-1/n1≥2/3, 1-1/n2≥2/3, 1-1/n3≥2/3,

откуда

что невозможно. Положим п3=2. Тогда соотношение (2.48) примет вид

или

(2.50)

Решим уравнение (2.50) в целых положительных числах. Прежде всего заметим, что если одно из искомых чисел, например, п1, равно 2, то другое число п2 находится из формулы

В этом случае имеются два полюса и, следовательно, единственная ось п2-го порядка. Все остальные повороты, оси которых отличны от этой оси, будут опрокидываниями. Очевидно, что оси этих опрокидываний будут перпендикулярны к оси п2-го порядка и составляют между собой равные углы.

Такую группу образуют самосомещения правильного многоугольника в трехмерном пространстве или двойной пирамиде (диэдра).

Итак, мы рассмотрели случай, когда одно из чисел п1 или п2 равно 2. Исключая его, мы имеем, одновременно п1≥3 и п2≥3. Однако оба эти числа не могут быть больше 3, так как для п1≥4 и п2≥4 мы имеем 1/n1+1/n2≤1/2<1/2+2/N. Следовательно, в крайному разе одно из чисел п1 и n2 равно 3. Будем считать, что это число п1 (в противном случае можно поменять местами в уравнении (2.50) числа п1 и п2); тогда

откуда п2<6. Итак, п2 может принимать только три значения, 3, 4, 5. Поэтому (с учетом симметрии уравнения (2.50) относительно переменных п1 и п2) мы получаем следующие пять решений:

Для того чтобы завершить доказательство теоремы нужно показать еще, что каждому полученному таким образом решению соответствует некоторый правильный многогранник, и, следовательно, группа всех его самосовмещений. Эту часть доказательства мы опускаем.

В заключение отметим, что перечисленными подгруппами отнюдь не исчерпывается множество всех подгрупп, лежащих в группах Е (2) и Е(3). Среди всех подгрупп Е(2) и Е(3) особое значение для различных областей естествознания имеют так называемые кристаллографические группы. Они определяются следующим образом.

Назовем пространственной решеткой Бравэ (или пространственным кристаллом) множество L, образованное всеми точками пространства с радиусами-векторами R вида

R = п1е1 + п2е2 + п3е3,

где е1, е2 и е3 — три некомпланарных вектора, а п1, п2 и п3 — всевозможные целые числа. Аналогично определяется плоская решетка Бравэ (плоский кристалл).

Множество перемещений пространства (соответственно плоскости), переводящих решетку L в себя, называется пространственной кристаллографической группой (соответственно плоской кристаллографической группой) и обозначается через G3(L) (соответственно G2(L)). Ясно, что множество G3(L) (соответственно G2(L)) является подгруппой группы Е(3) (соответственно группы Е(2)). Аналогично тому, как мы описали конечные группы перемещений, можно получить полную классификацию всех кристаллографических групп (правда, затратив на это значительно больше времени и усилий). Оказывается, что существует ровно 17 неизоморфных друг другу плоских кристаллографических групп и 230 неизоморфных пространственных кристаллографических групп. Каждой из этих групп отвечают соответствующая плоская или пространственная решетка. Интересно отметить, что эти плоские решетки были обнаружены еще в древности египетскими архитекторами и художниками, в то время как классификация трехмерных решеток была получена лишь в конце позапрошлого столетия.

Микромодуль 6.

Примеры решения типовых задач

1. Пусть G есть группа S3 всех подстановок из трех элементов, а U - подгруппа порядка 2 (следовательно, индекса 3), состоящая из подстановок

и

Распадение группы G на лево - и правосторонние классы видно из следующей таблицы:

2. Знакопеременная группа Ап подстановок из п элементов представляет собой инвариантную подгруппу индекса 2 симметрической группы Sn. Два класса, определяемые этой подгруппой, суть: сама группа Ап и класс всех нечетных подстановок.

3. В группе поворотов n-угольного диэдра самосовмещения первого рода образуют инвариантную подгруппу индекса 2. Один из двух классов по этой подгруппе есть она сама, другой класс состоит из всех самосовмещений второго рода.