Дискретно-непрерывная математика (стр. 117 )

Однако если принять за единицу для , а Е - в качестве единица для , то это все равно не позволит определить обратные элементы; никакой элемент, скажем В, не может дать

= , за исключением случая = и = ;

= Е, за исключением случая = Е и = Е.

Аналогично можно проверить, что для законов*

также нельзя определить обратные элементы.

(Для закона композиции единицей является . Если положить

а= (х)) и b = (х) при 0<а < b < 1, то а*b =(а) ( b).

и мы никогда не получим а * b = 0; следовательно, не существует числа b, которое можно было бы поставить в соответствие числу а в качестве обратного, то же справедливо и для ).

Можно проверить, что это справедливо также для закона * :

* , определенного с помощью

или закона *:

* , определенного с помощью

Дистрибутивность. Пусть * и *' представляют собой два закона внутренней композиции, определенных на том же самом множестве Е. Если

то говорят, что закон * дистрибутивен слева относительно закона *'.

Аналогично, если

то говорят, что закон * дистрибутивен справа относительно закона *'. Если закон * дистрибутивен относительно другого закона *' и слева и справа, то говорят, что он дистрибутивен относительно *'. Тогда можно записать

Можно, например, проверить, что закон дистрибутивен относительно и, наоборот, закон дистрибутивен относительно . Для закона

относительно или свойство дистрибутивности не имеет места.

Обычное подмножество нечеткого множества, замкнутое относительно закона композиции. (Напомним, что нечеткие подмножества универсума Е образуют множество, которое обозначается (Е); поэтому, имея в виду нечеткие подмножества, сказать, что множество Е наделено законом * или что этим законом наделено множество (Е), значит, сказать одно и то же).

Пусть P (Е), причем P (Е) наделено законом *. Если для каждой упорядоченной пары ( , ) ×

* ,

это говорят, что замкнуто относительно *.

Рассмотрим, например, группоид, представленный на рис. 3.25. Можно проверить, что группоид

1= { (0, 0), (0, 1/2), (1/2, 0)} замкнутый,

2 = { (1/2, 1), (1, 1/2)} незамкнутый.

Рис. 3.26

На рис. 3.26 представлен тот же группоид, что и на рис. 3.25, но наделенный законом : группоид

1 = { (0, 0), (0, 1/2), (1/2, 0)} незамкнутый,

2 = { (1/2, 1), (1, 1/2)} незамкнутый,

3 = { (1/2, 1), (1, 1/2)(1, 1)} замкнутый.

Интересно проследить, как получить замкнутые подмножества для примеров на рис. 3.25 и 3.26 с помощью диаграммы Хассе векторной решетки, представляющей P (Е) (см. рис. 3.27).

Рис. 3.27

Правило заключается в следующем. Чтобы некоторое подмножество из (Е) было замкнуто, оно должно содержать нижнюю грань любой пары ( , ), , . Например, подмножество { (0, 0), (0,1/2), (1/2, 0), (1,0)} замкнуто относительно . Это можно видеть на рис. 3.27. С другой стороны, подмножество {(0, 1/2), (1/2, 0), (1/2, 1), (1, 1/2)} незамкнуто относительно . Такое же правило применяют и для операции , но только рассматривают верхние границы. Например, подмножество {(0, 0), (0, 1/2), (1/2, 0), (1, 0)} незамкнуто относительно , а подмножество {(0, 1/2), (1, 0), (1, 1/2), (1,1)} - замкнуто.