Дискретно-непрерывная математика (стр. 29 )

Возьмем теперь элемент а-1. Элемент а удовлетворяет равенству

а-1• а=1,

т. е. является для элемента а-1 как раз тем элементом х = (а-1)-1, о котором только что шла речь. Итак,

(а-1)-1 = а.

Пусть теперь а, b — некоторые элементы группы G. Рассмотрим в этой группе уравнения

ха=b. (2.6)

Очевидно, что это уравнение имеет решение

х = bа-1.

Это решение - единственно, так как если элемент с является решением уравнения (2.6), то са = b, значит,

с = саа-1 = bа-1.

Точно так же уравнение

ах = b (2.7)

имеет своим единственным решением элемент а-1b

Следствие. Если ab = ac, а также, если bа = са, то b= с.

Докажем теперь следующее важное тождество:

(ab)-1= b-1а-1. (2.8)

В самом деле, элемент (ab)-1 есть единственный элемент х группы, которые удовлетворяющий условию

ab• x=1 (2.9)

но

аb• (b-1а-1) = a (bb-1)а-1 = а • 1 • а-1 = аа-1 = 1.

Отсюда элемент х=b-1а-1 как раз удовлетворяет условию (2.9), таким образом, действительно,

(аb)-1 = b-1а-1.

Методом математической индукции легко получаем общий результат

(a1... an)-1 = an-1 an-1-1... a1-1.

Отсюда, в частности, следует тождество

с(a1... an)-1 = сan-1 an-1-1... a1-1.

которое называется вторым правилом раскрытия скобок.

4. Замечания об аксиомах группы. Мы не ставим себе задачей дать меньшее число требований, достаточных для определения понятия группы. Действительно, мы потребовали, чтобы нейтральный элемент удовлетворял сразу условиям

а • 1 =1• а = а,

а обратный элемент a-1 к любому элементу а условиям

а • а-1 = а-1 • а = 1.

Между тем на основании доказанного в пунктах 2 и 3 достаточно было бы потребовать выполнение одного какого-нибудь из условий

а• 1=а или 1• а = а,

а также одного какого-нибудь из условий

а • а-1 = 1 или а-1 • а = 1.

Наконец, заметим, что в определении группы аксиомы II и III, т. е. условие существования обратного элемента ко всякому данному, можно было бы заменить одной следующей аксиомой («условие неограниченной возможности деления»):

Ко всяким двум элементам а и b можно найти элементы х и у такие, что ах=b и уа = b.

5. «Мультипликативная» и «аддитивная» терминология в теории групп. Составными частями понятия группы являются:

а) множество тех объектов (числа, подстановки, повороты и т. д.), которые являются элементами группы;

б) определенная операция или действие, которое мы назвали умножением и которое позволяет для каждых двух элементов а и b группы найти третий элемент а• b той же группы.

Мы выбрали термин умножение для обозначения операции, имеющей место в каждой группе. Выбор того или иного термина на существо дела, конечно, влияния не оказывает; в применении к каждой группе можно было бы говорить о сложении ее элементов (а не об умножении их) и рассуждать не на мультипликативной, а на аддитивном языке. С мультипликативным языком, или, как говорят, с мультипликативной записью группы, мы уже познакомились. Теперь сообразим, какое выражение получают групповые аксиомы на аддитивном языке («в аддитивной записи»).

Прежде всего, мы требуем, чтобы для каждых двух элементов а и b множества G был однозначно определен элемент а+b - сумма двух элементов а и b.

Групповые аксиомы примут при этом следующий вид:

I. Условие ассоциативности. Для любых трех элементов а, b, с множества G справедливо соотношение

(a + b) + c = a + (b + c).

II. Условие существования нейтрального элемента. Среди элементов множества G имеется некоторый определенный элемент, который называют нейтральным элементом, и обозначают через 0, такой, что а+0=0+а=а

при любом выборе элемента а.

III. Условие существования противоположного элемента. К каждому данному элементу а множества G можно подобрать такой элемент - а того же множества G, что

а + (— а) = (— а)+а = 0.

Мы видим, что если операцию, которая определяет данную группу, переименовать из умножения в сложение, то оказывается естественным нейтральный элемент переименовать из единицы в нуль и говорить о противоположных элементах (-а) вместо обратных от а-1.

Условие коммутативности в аддитивной записи имеет вид

a + b = b + а.

Мультипликативная терминология является исторически первой и употребляется многими авторами. Наиболее удобно в одних случаях рассужлать о группах на мультипликативном, в других случаях на аддитивном языке. Наконец, имеется много случаев, когда оба языка оказываются одинаково удобными.

Как на пример, где удобнее использовать аддитивный язык, укажем на группу целых чисел: групповой операцией являктся здесь обыкновенное арифметическое сложение, нейтральный элемент есть обыкновенный арифметический нуль, и понятие противоположных чисел имеет также свой обычный арифметический смысл.

Едва или можно спорить о том, что непривычно и неудобно было бы обычное арифметическое сложение называть умножением, нуль единицей и т. д. Однако читатель должен хорошо понять, что, несмотря на все неудобства такого переименования, оно вполне возможно и не приведет ни к какому противоречию до тех пор, пока мы ограничиваемся изучением группы целых чисел, т. е. рассматриваем единственную операцию над целыми числами, а именно, арифметическое сложение.

Если мы наряду с арифметическим сложением стали бы рассматривать еще и умножение (также в элементарном, арифметическом смысле слова), то переименование сложения в умножение, о котором идет речь, конечно, совершенно запутало бы терминологию. Как пример группы, для которой мультипликативный язык более удобен, можно назвать группу Q ненулевых рациональных чисел.

Чтобы покончить с вопросами терминологии, отметим, что становится все более и более общепринятым говорить об общих группах на мультипликативном языке, а о коммутативных группах на аддитивном языке (хотя мы только что видели исключение из этого правила, когда упоминали о группе отличных от нуля рациональных чисел).

2.3. Группы подстановок

1. Определение групп подстановок. Если три мужчины Сидор, Иван и Петр сидят на скамйке, предположим, слева направо, то их можно пересадить шестью различными способами, а именно (считая все время слева направо):

(1) Сидор, Иван, Петр;

(2) Сидор, Петр, Иван;

(3) Иван, Сидор, Петр;

(4) Иван, Петр, Сидор;

(5) Петр, Сидор, Иван;

(6) Петр, Иван, Сидор.

Переход от одного какого-нибудь порядка, в котором они сидят, к любому другому порядку называется подстановкой. Подстановка записывается так:

и означает, что Иван сел на место Сидора, Петр на место Ивана, Сидор - на место Петра.

В таком смысле можно говорить о подстановках любых предметов. Так как при этом природа пересталяемых предметов значения не имеет, то эти предметы обычно обозначаются числами, и речь идет о подстановках чисел. Из трех чисел 1, 2, 3 можно сделать следующие подстановки:

, , , , ,

Каждая подстановка заключается в том, что на место числа, стоящего в верхней строке, ставится подписанное под ним число из нижней строки. Первая подстановка называется тождественной, в ней каждое число остается на своем месте. Вторая подстановка заключается в том, что число 1 остается на месте, число 3 ставится на место числа 2, а число 2 — на место числа 3 и т. д.

Общий вид подстановки из чисел 1, 2, ..., п таков:

Здесь il, i2, ..., in — это те же числа 1, 2, ..., п, но только записанные в другом порядке. Например, пусть

тогда, очевидно, п = 5, i1 = 3, i2 = 1, i3= 4, i4 = 5, i5= 2.

Из п чисел можно сделать п! различных подстановок. Докажем это. Каждая подстановка из чисел 1, 2, ..., п имеет вид

где все il, ..., in различны и каждое из них есть одно из чисел 1, 2, ..., п. Значит, i1 принимает п возможных значений. После того как одно из них выбрано, мы имеем для выбора значения i2 уже только п — 1 возможностей. Остановившись на одной из них, имеем для выбора значения i3 лишь п —2 возможностей. И так далее, пока для in останется лишь одна возможность. Всего таким образом имеется п(п — 1) • (п — 2)... 2 • 1 = п! возможностей, что и требовадось доказать.

Возвратимся к подстановкам из трех цифр. По определению, будем считать, что перемножить две подстановки, значит последовательно произвести их одну за другой. В результате получится опять подстановка, которую называют произведением двух данных подстановок.