Дискретно-непрерывная математика (стр. 49 )

И, наконец, имеет место предложение, аналогичное предложению 4.

Предложение 8. (1) Любое перемещение из Е0(3) однозначным образом представляется в виде композиции

F Ta,

где F SO(3)А — перемещение, имеющее данную неподвижную точку А, а Ta — параллельный перенос.

(2) Любое перемещение из Е0(3) однозначным образом представляется в виде композиции

Tb G,

где G SO(3)А — перемещение, , имеющее данную неподвижную точку А, а Ть — параллельный перенос.

Доказательство этого предложения почти дословно совпадает с доказательством предложения 4 и поэтому мы его опускаем.

2.9.3. Конечные подгруппы группы перемещений пространства.

В п. 2.5 были рассмотрены группы самосовмещений правильных пирамид, группы диэдров (двойных пирамид) и группы самосовмещений правильных многогранников. Все эти группы имели конечный порядок. Решим теперь обратную задачу: найти все группы, которые состоят из конечного числа перемещений пространства, Оказывается, что это именно только что перечислении группы и никакие другие. Тем самым мы получаем полный список конечных подгрупп группы перемещений пространства.

Пусть Г - такая конечная группа. Установим прежде всего следующий результат.

Предложение 9. Группа Г состоит только из поворотов пространства.

Доказательство. Пусть X — некоторое перемещение, которое содержится в группе Г; тогда Г будет содержать также и все последовательные степени X2, X3, ... перемещения X. Поэтому прежде всего необходимо, чтобы среди этих степеней было конечное число различных элементов. Следовательно, перемещение X не может быть параллельным переносом.

Действительно, предполагая противное, обозначим через а длину вектора параллельного переноса X. Степени X также будут параллельными переносами, длины векторов которых равны 2а, 3а и т. д. Все эти параллельные переносы различны между собой и их имеется бесконечное число.

Далее, перемещение X не может быть винтовым перемещением. В самом деле, если обозначить через а длину вектора параллельного переноса, который входит в винтовое перемещение X, то перемещение X2, X3 и т. д. будут содержать параллельные переносы, длины векторов которых равны 2а, 3а, … Следовательно, все такие винтовые перемещения будут различны. Остаются только повороты. Предложение доказано.

Предложение 10. Все повороты группы Г, имеющие общую ось, являются степенями одного из них, именно того, которому соответствует наименьший угол поворота.

Доказательство. Пусть A Г — подмножество поворотов из группы Г, имеющих общую ось, RA — поворот, имеющий наименьший угол α. Покажем, что α=2π/п, где n — положительное целое число. Действительно, в противном случае мы имели бы kα<2π<(k+1)α (k — целое число). Поэтому углы α1=2π—kα и α2=(k+1)α — 2π были бы отличны от нуля и не превышали угла α. Кроме того, углы α1 и α2 были бы углами поворотов около той же оси, что противоречит предположению.

Итак, мы показали, что поворот R, который имеет наименьший угол среди всех поворотов с общей осью, удовлетворяет условию

Rn= E.

Докажем теперь, что всякий поворот из множества А является степенью R. Действительно, если это не так, то аналогично только что доказанному соответствующий повороту угол β будет удовлетворять неравенствам тα<β<(т+ 1)α. Значит, поворот, которому соответствует угол β—тα, и который, очевидно, принадлежит множеству А, будет иметь угол, строго меньший α. Предложение доказано.

Число п, фигурирующее в этом предложении (т. е. такое наименьшее положительное число, что Rn = E), называется порядком поворота.

Предложение 11. Оси всех поворотов, которые принадлежат группе Г, проходят через одну точку.

Доказательство. Пусть R1 и R2 — два поворота из группы Г. Покажем прежде всего, что их оси лежат в одной плоскости. Предположим противное, т. е., что оси l1 и l2 поворотов R1 и R2 являются скрещивающимися прямыми. Согласно теореме 3 поворот R1 есть композиция двух опрокидываний относительно пересекающихся осей т1 и т′1, пересекающих l1 под прямыми углами, причем т′1 можно взять произвольно. Точно так же поворот R2 есть композиция двух опрокидываний относительно пересекающихся осей т1 и т′1, пересекающих l2 под прямыми углами, причем т'2 можно выбрать произвольно. Соединим прямые т′1 и т′2 с общим перпендикуляром к осям l1 и l2. Опрокидывания относительно них взаимно уничтожаются, так что композиция R2°R1 представляет собой композицию опрокидываний относительно прямых т1 и т2. Прямые т1 и т2 не могут переcекаться. В противном случае определяемая ими плоскость содержала бы общий перпендикуляр к l1 и l2. Поэтому прямые l1 и l2 оказались бы перпендикулярными к этой плоскости (как прямые, перпендикулярные каждая к двум прямым, лежащим в плоскости) и, значит, параллельными у противоречие с предположением. Следовательно, прямые т1 и т 2 не имеют общих точек, т. е. R2°R1 не является поворотом.

Итак, мы доказали, что оси любых двух поворотов из группы Г лежат в одной плоскости.

Дальше, эти оси не могут быть параллельными. Действительно, если бы повороты R1 и R2 вокруг параллельных осей имели равные, но имеющие противоположные направления углы поворота, то R2°R1 было бы нетождественным параллельным переносом. Если же повороты R1 и R2 вокруг параллельных осей имели бы неравные углы или же равные и одинаково направленные углы, то композиции R1°R2 и R2°R1 были бы поворотами на один и тот же угол вокруг различных осей, так что композиция R1°R2°(R2°R1)-1=R1°R2°R1-1°R2-1 (очевидно, принадлежащая группе Г) была бы нетождественным параллельным переносом.

Итак, оси двух поворотов обязательно пересекаются в некоторой точке О.

Покажем теперь, что в группе Г содержится поворот R, ось которого проходит через точку О и не лежит в плоскости, которая проходит через оси поворотов R1 и R2.

В самом деле, если R1 и R2 опрокидывания, то таким поворотом будет композиция R2°R1. В противном случае, если один из поворотов, скажем, R1, не является опрокидыванием, то таким поворотом будет R1°R2°R1-1. Следовательно, ось любого поворота из группы Г должна проходить через точку О, так как она должна пересекать оси поворотов Rl, R2 и R. Предложение 11 доказано.

Пусть О - точка пересечения всех осей поворотов, которые принадлежат группе Г. Примем эту точку за центр сферы S единичного радиуса. Для того чтобы изучить повороты, которые принадлежат Г, достаточно изучить их действия на сфере S.

Любая ось поворота пересекает сферу S в двух точках. Очевидно, что эти точки будут единственными неподвижными относительно данного поворота точками на сфере. Назовем их полюсами данного поворота. Полюс поворота может принадлежать сразу нескольким поворотам группы Г. Пусть, например, некоторому полюсу соответствуют повороты R1, ..., Rk с углами α1... , αk, причем угол α1 наименьший из них. Тогда α1 необходимо имеет вид α1=2π/n (п — целое положительное число). Действительно, если бы было не так, т. е. α1=(m/n)(2π), где т и п — взаимно простые, т. е. наибольший общий делитель т и п равен единице, то в группе Г содержался бы поворот на угол, строго меньший α1.

Для того чтобы доказать это, будем считать, что т<п (случай т>п рассматривается аналогично). Представим число п в виде

п = lт+r,

где 0<r<т, и рассмотрим поворот R1-1, очевидно принадлежащий группе Г. Наименьший положительный угол этого поворота равен

что и требовалось доказать.

Все другие повороты R2, ..., Rk будут степенями поворота R1 Действительно, если бы угол γ, соответствующий одному з этих поворотов, удовлетворял неравенствам

тo, взяв композицию этого поворота и поворота R1-m мы получили бы поворот той же оси на угол, строго меньший 2π/n=α1, что противоречит сделанному предположению.

Назовем число п порядком данного полюса поворота. Легко видеть, что полюс n-го порядка принадлежит п — 1 поворотам, не считая тождественного.

Нашей ближайшей целью являются получение формулы, связывающкй порядок N группы Г и порядки п1 ..., nk различных полюсов поворота. Для этого введем следующее определение.

Точки P1 и Р2 на сфере S называются эквивалентными относительно группы Г, если существует такой поворот R F, что R (Р1)=Р2.