Дискретно-непрерывная математика (стр. 60 )

Доказательство. Пусть ψ и ψ′ — два координатных отображения для полугруппы S, определенные ранее. Так как умножение слева на элемент lі есть взаимно однозначное отображение из Н11 = G в Нi1, то существует единственный элемент gj G, такой, что lіgi=lі′. Аналогично существует единственный элемент gj G, такой, что gjrj=rj′. Определим λ и δ, полагая δ(i) = gi и δ(j) = gj. Тогда Р (j, i) = rj′ li' = δ (j)C(j, i) λ(i) и θ - такой изоморфизм, что ψ′=θψ.

Наоборот, очевидно, что θ является изоморфизмом. Определим lі′=liλ(i) Нi1, rj′ =δ (j) rj Н1j. Легко видеть, что элементы lі′ и rj′ определяют отображение ψ′=θψ, так что ψ′ есть координатное отображение для полугруппы S.

Замечание 9. Из изложенного следует, что могут существовать два различных координатных отображения для полугруппы S, переводящие S0 в одну и ту же регулярную рисовскую полугруппу матричного типа М0 (G; А, В; С). Предположим, например, что G - не абелева группа и С (В × А) содержится в центре группы G. Пусть g0 G — произвольный элемент, не принадлежащий центру, для всех i, j, положим λ(i) = g0, δ (j) = g0-1. Тогда Р (j, i) = C (j, i), но отображение (g, i, j) → [λ(i)-1gδ (j)-1, i, j] не является тождественным.

Утверждение 9. Пусть S — 0-простая полугруппа. Тогда существует такое координатное отображение для полугруппы S, что все элементы в данном столбце и данной строке соответствующей структурной матрицы равны нулю или единице (единице группы G).

Доказательство. Это утверждение следует из утверждения 8, если соответствующим образом выбрать отображение λ : А → G и δ: В→ G.

Утверждение 10. Пусть S — полугруппа.

а) Если S — простая слева, то S G ×Аl, где G — группа и А — конечное множество.

б) Если S— простая справа, то S G × Вr, где G— группа и B — конечное множество.

Мы оставляем читателю доказательство этого утверждения как простое упражнение на применение теоремы Риса. (Указание. Воспользуйтесь утверждением 9.)

3.4. Приложения теоремы Риса и группа Щютценберже.

В этом пункте вводится группа Щютценберже - важный инструмент для исследования конечных полугрупп. Вместе с теоремой Риса эта группа используется для определения вида и строения локальных гомоморфизмов и переносов конечных полугрупп, а также для описания различных локальных свойств полугрупп.

Под термином «локальный гомоморфизм» мы имеем в виду ограничение эпиморфизма φ : S1→→ S2 на F класс полугруппы S1. Мы определим вид всех таких ограничений с помощью координатной картинки Грина-Риса для F классов.

Утверждение 11. Пусть отображение φ : S1→→ S2 есть эпиморфизм. Пусть символ α(Si) обозначает любое из отношений F, L, R или H на полугруппе Sі, i =1,2.

а) Если sα (S1)t, то φ(s)α(S2)φ(t). Следовательно, эпиморфизм φ переводит α классы полугруппы S1 в α классы полугруппы S2.

б) Пусть А2 есть α класс полугруппы S2. Тогда φ-1(А2) есть объединения α классов полугруппы S1.

в) Пусть J2 есть F класс полугруппы S2, a J1— минимальный F класс (см. oпределение 5) полугруппы S1, содержащийся в φ-1(J 2). Тогда φ(J1) =J2 и φ индуцирует эпиморфизм φ-1 : J0 1→→ J0 2.

г) Каждый R и L классы полугруппы S1, которые содержатся в Jl, переводятся отображением φ на R и L классы соответственно полугруппы S2, содержащиеся в J 2. (Если класс J 2 не регулярный, то утверждение для H классов, вообще говоря, не верное; см. предложение 1 и замечание 12, где приводится контрпример.)

д) Класс J1 регулярный тогда и только тогда, когда регулярный класс J 2. Если класс J2 нулевой, то каждый F класс, который содержится в φ-1(J2), нулевой. Когда класс J2 регулярный, J1 - единственный минимальный F класс прообраза φ-1 (J 2).

Доказательство. В случае пункта а) доказательство тривиально, а пункт б) следует из а).

в) Пусть класс J1 удовлетворяет условию пункта в). Тогда множество φ(S| J1S|) есть идеал полугруппы S2, пересекающийся с J 2 и, следовательно, содержащий класс J2. Кроме того, множество В(J1)=S1J1S1—J1 есть идеал полугруппы S1 и В (J1) φ-1 (J2) = в силу минимальности класса J1. Следовательно, φ [В (J1)] (J2) = и φ(J1) = J2. Отображение φ′: J01→J02 определено корректно, поскольку класс J1 минимальный в φ-1 (J 2).

г) Так как J1 минимальный, каждый R и L класс полугруппы S1, содержащийся в J1, будет минимальным относительно соответствующего упорядочения R и L классов. Пусть L1 есть L класс полугруппы S1, содержащийся в J1 Предположим, что φ (L1) L2— L класс полугруппы S2, содержащийся в J2. Тогда L1 является минимальным в φ-1(L2), последнее множество есть объединения L классов. Теперь пункт г) доказывается с помощью рассуждений, аналогичных пункту в).

д) Если J2 есть регулярный класс, он содержит идемпотент е. Пусть элемент s J1, такой, что φ(s)=е. Для некоторого п элемент sn будет идемпотентом и φ (sn) = еп = е. Следовательно, sn = J1 и класс J1 регулярный. Если J2 — нулевой класс, то J2 не содержит идемпотентов. Пусть е — идемпотент некоторого F класса в прообразе φ-1(J2). Тогда элемент φ(е) J2 будет идемпотентом. Следовательно, каждый F - класс, который содержится в множестве φ-1(J2), будет нулевым, если нулевой класс J 2.

Перейдем к доказательству последнего пункта. Пусть J2-регулярный F класс. Предположим, что J1 и J′1 — два минимальных F классы, которые содержатся в множестве φ-1 (J1). Тогда φ (J1) = φ (J′1) = J2. Так как класс J2 регулярный, имеем в силу теоремы Риса включение J2 J22 . Тогда J2 J2 J2= φ (J1) φ (J′1) =φ (J1 J′1). Если классы J1 и J′1 различные, то множество J1∙ J′1, которое принадлежит пересечению S|J1S| S|J′1S|, не пересекается с множеством φ-1 (J2). Следовательно, J1 = J′1.

Определение 7. Пусть S' — подмножество полугруппы S. Пусть φ — отображение из S' в полугруппу Т. Отображение φ называется

частичным гомоморфизмом тогда и только тогда, когда для всех элементов s1,s2 S', таких, что s1s2 S' выполняется соотношение

φ(s1)φ (s2) =φ (s1s2). Если s1s2 S', то никаких условий на элемент φ(s1)φ (s2) не накладывается.

Замечание 10. Пусть отображение φ : S1→→S2 является эпиморфизмом. Ограничение φ на любой F класс полугруппы S1 будет частичным гомоморфизмом. Отметим, что любая функция, которая определена на нулевом F классе, является частичным гомоморфизмом. Следующее предложение дает простое описание всех частичных гомоморфизмов регулярных F классов при помощи картинки Грин-Риса для F классов.

Определение 8. Понятие координатного отображения для 0-простых полугрупп можно очевидным образом распространить на регулярные F классы. Координатными отображениями для регулярного F класса J будут ограничения координатных отображений

С: J0→→ M0 (G; A, B; Р) на класс J, переводящие J на M0 (G; A, B; Р) — {0}. Следовательно, координатное отображение для J дает описание класса J как ненулевой части регулярной рисовской полугруппы матричного типа.