Дискретно-непрерывная математика (стр. 43 )

5. Примеры. I. Пусть G — группа всех целых чисел, a U G — группа всех чисел, которые делятся без остатку на т.

Если а — произвольное целое число, то Ка состоит из всех чисел вида a+mq при целом q: это будут все те числа, которые при делении на т дают тот же остаток, что и число а. Таким образом, различных классов будет столько же, сколько имеется различных остатков при делении на т; а этих последних имеется т, так как в качестве остатков при делении на т появляются числа 0, 1, 2, ..., т— 1, и только они. Итак, мы имеем следующие классы:

0) Класс всех чисел, которые дают при делении на т остаток 0. Этот класс совпадает с группой U и состоит из чисел

..., —qm, —(q—1)m, ..., —3m, —2m, — m,0, m, 2m, 3m, ..., qm, ....

1) Класс всех чисел, которые дают при делении на т остаток 1. Это будут:

..., -qm+1, —(q-l)m+l, .... — 3m+l, — 2т+1, —m+l, 1, т+1, 2т+1, 3т+1,…

2) Класс всех чисел, которые дают при делении на т остаток 2. Это будут:

-qm + 2, -(q-1)m + 2, ..., -3m + 2,

-2m+ 2, -m + 2, 2, m + 2....., qm + 2, ...

…………………………………………

m—1) Класс всех чисел, которые дают при делении на т остаток

(т—1). Этот класс состоит из чисел:

..., -qm + (m-l), -(q-1)т + (т-1)....,

— 3m+(m—1), — 2m + (т—1),

-т + (т-1), (т-1), т + (т-1), 2т + +(т- 1),....

или, что то же самое,

.... -2т-1, -т-1, -1, т-1, 2т-1, 3т-1,....

2.8.2. Факторгруппа по данной инвариантной подгруппе

1. Определение. Пусть U есть инвариантная подгруппа некоторой данной группы G. Рассмотрим множество всех классов, на которые распадается группа G относительно U. Это множество обозначим через V и докажем, что в ней можно определить операцию умножения таким образом, который V станет группой, на которую группу G можно будет гомоморфно отобразить.

Пусть v1 и v2 — два произвольных элемента из V; таким образом, v1 и v2 суть два класса группы G по инвариантной подгруппе U. Выберем в каждом из этих классов по одном элементу, а именно: выберем элемент х1 из класса v1 и элемент х2 из класса v2. Обозначим через v3 класс, к которому принадлежит элемент х1х2 группы G.

Докажем, что класс v3 не зависит от того, какие именно элементы х1 и х2 мы выбрали из классов v1 и v2. Другими словами, докажем: если x'1 есть какой-нибудь элемент класса v1, вообще говоря, отличный от х1, а x'2 какой-нибудь элемент класса v2, вообще говоря, отличный от х2, то элемент x'1x'2 принадлежит к тому же класса v3, к которому принадлежит х1х2.

В самом деле, два элемента а и b принадлежат тогда и только тогда к одному и тому же классу относительно инвариантной подгруппы U, если элемент аb-1 принадлежит к U.

Рассмотрим элемент

х1х2 (х'1х'2)-1 = х1х2 (х'2)-1(х'1)-1 = х1∙ ( х2 (х'2)-1)(х'1)-1.

Так как х2 и х'2 принадлежат одному и тому же классу v2, то

х2(х'2)-1 = u2,

где u2 есть некоторый элемент U, и мы имеем

x1x2(х'1x'2) = x1u2(х'1)-1. (2.40)

Но U есть инвариантная подгруппа, поэтому x1u2 = и'x1, где и' есть некоторый элемент группы U. Подставляя это в формулу (2.40), получаем

x1x2(х'1x'2)-1 = u'x1(х'1)-1.

Но x1 и х'1 принадлежат к одному и тому же классу v1, поэтому

x1(х'1)-1= u1, где и1 — некоторый элемент группы U. Следовательно,

x1x2(х'1x'2)-1 = u'u1,

т. е. x1x2(х'1x'2)-1 есть некоторый элемент u=u'u1 группы U, что и нужно было доказать.

Так как класс v3, таким образом, определен, коль скоро определены классы v1 и v2, то полагаем:

v1∙ v2= v3. (2.41)

Это есть определение произведения v1∙ v2 двух классов v1 и v2. Итак:

произведением двух классов v1 и v2 называется класс v3 построенный по следующему правилу: в каждом из классов v1 и v2 выбираем по произвольному элементу, перемножаем эти два элемента и берем класс, к которому принадлежит их произведение; этот класс и есть класс v3.

Из этого определения и из того, что произведение элементов в группе G удовлетворяет условию ассоциативности, непосредственно следует, что и умножение классов удовлетворяет условию ассоциативности.

Докажем, что класс U по отношению к только что определенному умножению играет роль нейтрального элемента, т. е. что для всякого класса v справедливо равенство

v∙ U = U∙ v = v. (2.42)

Для этого выберем произвольный элемент х класса v, а в качестве элемента класса U выберем нейтральный элемент 1. Тогда, по определению умножения, класс v∙U есть класс, который содержит элемент х∙1=х, т. е. тот же класс v. Точно так же класс U∙v есть класс, который содержит элемент 1∙х =х, т. е. тот же класс v. Этим формула (2.42) доказана.

Докажем наконец, что к каждому классу К имеется некоторый обратный класс, который обозначим через К-1 и который удовлетворяет условию

K∙ K-1 = K-1∙ K=U.

Для этого возьмем в классе К какой-нибудь элемент а и определим класс К-1 как класс, который содержит элемент а-1. По определению произведений классов, каждое из двух произведений K∙K-1 и K-1∙K представляет собой класс, который содержит элемент а∙а-1=а-1∙а=1, а это и есть класс U.

Итак, определенное нами умножение удовлетворяет всем аксиомам понятия групп. следовательно, при нашем определении произведения множество классов группы G по ее инвариантной подгруппе U есть некоторая группа V. Класс U при этом есть нейтральный элемент группы V.

Группа V называется факторгруппой группы G по ее инвариантной подгруппе U.

2. Теорема о гомоморфных отображениях. Пусть по-прежнему даны группа G и ее инвариантная подгруппа U. Каждому элементу х группы G поставим в соответствие определенный элемент факторгруппы V, а именно: тот класс, который содержит в себе элемент х.

Этим устанавливается отображение φ группы G на группу V и из определения умножения в группе V непосредственно следует, что это отображение гомоморфно.

Какие элементы группы G отображаются на нейтральный элемент группы V? Так как этим нейтральным элементом является U, то очевидным ответом на наш вопрос есть:

Все элементы инвариантной подгруппы U и только они при отображении φ отображаются на нейтральный элемент группы U.

Из этого и предыдущего пунктов следует: всякая инвариантная подгруппа U группы G является ядром некоторого гомоморфного отображения группы G, а именно, гомоморфного отображения группы G на ее факторгрупу по отношению к U.

Пусть теперь дано произвольное гомоморфное отображение f какой-нибудь группы А на какую-нибудь группу В. Пусть U есть ядро этого гомоморфного отображения. Мы знаем, что U — инвариантная подгруппа группы А. Обозначим через V факторгруппу группы А по отношению к U.

Пусть b есть какой-нибудь элемент группы В. Существует по крайней мере один элемент а группы А, отображающийся отображением f на элемент b:

b = f(a).

Определим полный прообраз элемента b при отображении f, т. е. множество элементов х группы А, отображающихся отображением f на b. Этот полный прообраз обозначим, как обычно, через f-1(b).

Итак, f-1(b), по определению, есть множество всех тех элементов х группы А, для которых справедливо равенство

f(x) = b.

Пусть, как уже было сказано, а — какой-нибудь элемент, отображающийся на b; если х есть другой элемент множества f-1(b), то f(a) = b, f(x) = b,

f(a-1) = b-1,

f(хa-1) = b∙ b-1 = 1

(единица справа есть нейтральный элемент группы В); это значит, что ха-1 есть некоторый элемент u группы U, т. е. х=аи есть элемент того класса по инвариантной подгруппе U, к которому принадлежит а. Обратно, если а и х принадлежат к одному классу, то

х= а и,

f (х) = f(a) ∙f(u)=f(a) ∙1=f(a),

т. е. а и х отображаются в один и тот же элемент b группы В, или, другими словами, содержатся в том же полном прообразе f-1(b).

Итак, полные прообразы f-1(b) элементов группы В суть классы группы А по инвариантной подгруппе U.

Этим обстоятельством устанавливается взаимно однозначное соответствие ψ между группой В и группой V.

Каждому элементу группы V, который есть некоторый класс группы А по инвариантной подгруппе U, т. е. полный прообраз некоторого элемента b группы В, соответствует именно этот элемент b группы В; при этом каждый элемент b группы В оказывается поставленным в соответствие одному-единственному классу, т. е. одному-единственному элементу группы V, именно тому классу, который является полным прообразом элемента b. Отображение ψ гомоморфно: пусть v1 и v2 - два элемента группы V и