Дискретно-непрерывная математика (стр. 33 )

а-1 • а-1 через а-2,

а-1• а-1 • а-1 через а-3,

....................................

через а-п.

Обозначения эти оправданы тем, что, действительно,

ап •а-п = 1.

Для доказательства последнего утверждения заметим прежде всего, что в случае п=1 оно очевидно (следует из самого определения а-1). Предположим, что оно верно для п — 1 и докажем в этом предположении его справедливость для п. Имеем

ап •а-п = (а • ап-1) (а-(п-1) • а-1) = а• {ап-1 • а-(п-1)} • а-1.

Но в силу нашего предположения фигурная скобка равна единице, значит,

ап •а-п = а • 1 • а-1 = а • а-1 = 1,

что и требовалось доказать.

Мы определили выражение ап для любого положительного и для любого отрицательного значения п. Положим, наконец, что, по определению, а0=1.

Пусть теперь р и q — два целых числа. Из наших определений следует, что для любых целых р и q имеем

ар•аq= ар+q.

Мы получаем следующий результат:

Множество Н(а) тех элементов группы G, которые могут быть представлены в виде ап при целом п с той групповой операцией, которая задана в группе G, образует группу Н(а).

В самом деле:

1) произведение двух элементов, которые принадлежат Н(а), есть опять элемент Н(а);

2) единица принадлежит Н(а);

3) к каждому элементу аm из Н(а) найдется элемент а-т, который также принадлежит Н(а).

Итак, Н(а) есть подгруппа G. Эта подгруппа называется циклической подгруппой группы G, порожденной элементом а.

Поскольку в группе Н(а)

ат•ап = ат+п = ап+т = ап•ат,

то группа Н (а) коммутативна.

Мы определили понятие циклической подгруппы Н(а), порожденной некоторым элементом а данной группы G. Станем теперь на более абстрактную точку зрения и рассмотрим группу Н такую, что каждый ее элемент имеет вид ап для некоторого фиксированного элемента а из Н и некоторого числа п. Такую группу мы назовем циклической группой, порожденой элементом а, и будем обозначать, как и ранее, Н(а). Теперь нет нужлы считать, что группа Н=Н(а) содержится в какой-либо объемлющей группе.

Так как группа Н(а) коммутативна, то ее групповую операцию принято записывать на аддитивном языке. Итак, операция в Н(а) теперь обозначается +, нейтральный элемент 0, элемент

через па и т. д.

Конечные и бесконечные циклические группы.

Группу Н(а) мы определили как состоящую из всех тех элементов, которые могут быть записаны в виде та. При этом мы не ставили вопроса: будут ли две записи т1а и т2а при различных целых т1 и т2 всегда давать два различных элемента группы Н(а) или же может случиться, что т1а = т2а, хотя т1 и т2 различны?

Пусть существуют два различных между собой целых числа т1 и т2 таких, что т1а=т2а. Прибавляя до обеим частям последнего равенства элемент — т1а, получим

0 = (т2 — т1)а.

Следовательно, существуют такие целые числа т, что

та = 0.

Так как из та=0 следует — та=0, то всегда можно предположить, что число т в равенстве та=0 положительно.

Возьмем теперь среди всех натуральных чисел, удовлетворяющих условию та=0, наименьшее и обозначим его через а. Имеем

а≠0, 2а≠0, ..., (α-1)а≠0, αа = 0.

Докажем, что все элементы

0 = 0а, а, 2а, ..., (α- 1) a (2.16)

различны между собой. В самом деле, если бы было

pa = qa при 0≤р<q≤α— 1,

то имели бы, прибавляя к обеим частям последнего равенства по -ра:

(q-p)a = 0,

а это противоречит определению числа а, так как в наших условиях

0< q-р≤α — 1.

Итак, все элементы (2.16) различны между собой. Докажем, что вся группа Н(а) исчерпывается элементами (2.16), т. е., что для любого целочисленного т имеем

та = rа, причем 0≤r≤ α - 1.

Для этого разделим число т на число α с остатком (по правилу деления целых чисел), а именно - представим его в виде

m = qα + r, (2.17)

где q есть неполное частное, а r - остаток, который удовлетворяет условию

0≤r<α.

(При отрицательном т остаток r при делении на α>0 все же берется положительным. В самом деле, пусть т отрицательно; тогда -т положительно и может быть записано в виде

— m = q'α + r', 0≤r'<α,

где q' и r' - неотрицательные. Тогда т =-q'α — r' = —(q'+1)α+(α—r'). В этих условиях число —(q'+1) называется неполным частным от деления отрицательного числа т на положительное число α, а неотрицательное число r=α—r'<α называется остатком при этом делении).

Имеем

ma = (qα + r)a=qα•a+rа,

но

qα•a=q(αa)= q•0 = 0,

значит,

та = rа.

Итак, если существуют два такие числа т1 и т2, что т1а=т2а, то существует натуральное число α, такое, что вся группа Н(а) исчерпывается α различными между собой элементами:

0, а, 2а, .... (α -1)а, (2.18)

тогда как αа = 0.

Положение получается такое: весь ряд

..., - та, ..., -а, 0, а, ..., та, ...

представляет собой бесконечное повторение (в обе стороны – направо и налево) своего «отрезка» (2.18).

В самом деле,

(α + 1)а = αа+а = а,

(α + 2)а = αа + 2а = 2а,

.....................................

(2α - 1) а = αа + (α - 1)а = (α - 1)а,

2αа = 0,

(2α + 1)а = а и т. д.

И аналогично в левую сторону:

-а = αа-а = (α - 1)а,

2а = αа-2а = (α - 2)а,

................................

-(α - 1)а = αа - (α - 1)а =а,

— αа = 0 и т. д.

Чтобы найти, какой именно элемент группы Н(а) мы получаем, взяв сумму

или

необходимо разделить т (или -т) на α. Неотрицательный остаток r, полученный при этом делении, 0≤r≤ α - 1 и дает нам ответ на наш вопрос:

та =rа.

Отсюда также ясно, как складываются элементы группы Н(а):

pa + qa = (p + q)a = ra,

где r есть остаток при делении p+q на α.

Рассмотрим теперь правильный α-угольник; центральный угол, опирающийся на сторону нашего многоугольника, есть

Многоугольник переходит сам в себя при поворотах на углы:

0 («тождественный» поворот), φ, 2φ, ..., (α—1)φ. Если считать тождественными повороты, отличающиеся друг от друга на целое число полных оборотов, то никакие другие повороты, кроме перечисленных α, не переводят наш многоугольник в самого себя. При этом композиция поворота на угол рφ и поворота на угол qφ есть поворот на угол rφ, где r есть остаток при делении p+q на α.

Мы видим: если повороту нашего многоугольника на угол mφ поставить в соответствие элемент ma группы Н(а) получается изоморфное отображение группы Н(а) на группу поворотов правильного α - угольника.

Группы, изоморфные группам поворотов правильных многоугольников, называются конечными циклическими группами.

Итак, если m1a= m2a для некоторых m1 и m2, то конечная группа Н(а) есть конечная циклическая группа.

Таблица сложения для циклической группы порядка т имеет вид

Таблица 2.5

Эта таблица сложения может служить вторым определениям циклической группы порядка т.

Мы исследовали случай, когда для данного элемента а группы Н(а) имеется два таких целых числа т1 и т2, что т1а = т2а.

Рассмотрим теперь случай, когда таких двух целых чисел нет, т. е. когда все элементы

..., - ma, — (m— 1)а, ...,

-3а, —2а, -а, 0, а, 2а, 3а, ..., ma, ... (2.19)

различны. Элементы (2.19) находятся в этом случае во взаимно однозначном соответствии с целыми числами:

элементу ma соответствует целое число m и обратно. Если при этом

т1а + т2а= т3а,

то

т1+ т2 = т3.

Отсюда следует, что данное взаимно-однозначное соответствие есть изоморфное соответствие между группой Н(а) и группой всех целых чисел.

Группы, изоморфные группе целых чисел, называются бесконечными циклическими группами.

Так как группы А и В, изоморфные одной и той же группе С, очевидно, изоморфны между собой, то все бесконечные циклические группы между собой изоморфны. Изоморфны между собой (по той же причине) и все конечные циклические группы того же порядка т.

Системы образующих

Вернемся к циклической группе Н(а), порожденной элементом а группы G. Элемент а в том смысле порождает группу Н(а), что всякий ее элемент является произведением нескольких сомножителей (в «аддитивной» терминологии: суммой нескольких слагаемых), каждый из которых есть или а или а-1. Вместо того чтобы говорить: элемент а порождает группу Н(а), часто говорят: элемент а есть образующий элемент группы Н(а).