Дискретно-непрерывная математика (стр. 61 )

Предложение 1. Пусть J1 — регулярный F класс полугруппы S1. Предположим, что отображение φ:J1→ S2 является частичным гомоморфизмом. Тогда справедливы следующие утверждения.

а) Множество φ (J1) содержится в регулярному F классе (обозначим его как J2) полугруппы S2 и R,, L, и H классы полугруппы S1, приналежащие классу J1, переводятся в R,, L, и H классы соответственно полугруппы S2, принадлежащие J2.

б) Занумеруем для удобства R, и L классы, которые содержатся в J2, так, что группа Н11, которая принадлежит классу J 1, переходит в группу из J2. Пусть теперь

С′1: J1→→ M0 (G; A, B; Р′)— {0}

и

С′2: J2→→ M0 (Н; С, D; Q′)— {0}

представляют собой любые координатные отображения для классов J1 и J2. Тогда существуют гомоморфизм ω : G→ Н и отображения ψL: А→C, ψR: B →D, λ : А→ Н, δ : B → Н, такие, что частичный гомоморфизм

θ = С′2φС′1 : M0 (G; A, B; Р′)— {0} →M0 (Н; С, D; Q′)— {0}

задается соотношением

θ (g, a,b) = (λ (a)-1 ω (g) δ (b) -1, ψL (a), ψR (b)). (3.1)

Кроме того, если Р' (b, а) ≠ 0, тo

θ [ψL (a), ψR (b)] = δ (b) ω [Р' (b, а)] λ (а). (3.2)

Наоборот, любые функции, которые удовлетворяют соотношениям (3.1) и (3.2), определяют частичный гомоморфизм регулярного F класса.

в) Пусть J1— минимальный F класс, который содержится в φ-1(J2). Тогда φ (J1) = J2 и отображение φ' : J01→J02 есть эпиморфизм (см. утверждение 11). В этом случае существуют координатные отображения С1 : J01→→ M0 (G; A, B; Р)и С2 : J02→→ M0(Н; С, D; Q′) для J01 и J02, такие, что эпиморфизм θ'=С2 φ' С-11задается соотношением

θ' (g, a,b) =(ω (g), ψL (a), ψR (b)),

θ' (0) = 0, (3.3)

где ω, ψL, ψR определены в пункте б) и есть эпиморфными отображениями. Кроме того,

Q[ψL (a), ψR (b)]= (3.4)

Наоборот, любые функции, которые удовлетворяют соотношениям (3.3) и (3.4), определяют эпиморфизм регулярной рисовской полугруппы матричного типа.

Доказательство. а) Пусть элементы s1, s2 J1. Предположим, что класс J1 регулярный, тогда по теореме Риса мы можем найти такие элементы х, у, z, w J1, что xs1y = s2 и zs2w = s1. Так как φ — частичный гомоморфизм, имеем φ (х)φ(s1) φ (у) = φ (s2) и φ (z) φ (s2) φ (w) = φ (s1), поэтому φ(s1)Fφ(s2) и все элементы множества φ(J1) будут F - эквивалентны.

Доказательство пункта а) завершается точно такими же рассуждениями.

б) Пусть θ — частичный гомоморфизм. Определим отображение

ψL и ψR, полагая φ(Наb) . В силу пункта а) они определены корректно. Определим отображение

γ : M0 (G; A, B; Р′)— {0} →Н

с помощью соотношения

θ (g, a,b) =( γ (g a, b), ψL (a), ψR (b)).

Н класс Наb рисовской полугруппы матричного типа содержит идемпотент тогда и только тогда, когда Р' (b, а) ≠ 0, и так как Н класс имеет самое большее один идемпотент, все ненулевые идемпотенты рисовской полугруппы матричного типа записываются в виде (Р' (b, а)-1, а, b).

Пусть теперь элемент (g0, а0, b0) M0(G; A, B; Р′)— {0} будет идемпотентом [он существует, так как полугруппа M0(G; A, B; Р′) регулярна]. Следовательно, g0=Р'(b0,а0)-1. Пусть (g, a, b) M0(G; A, B; Р′) — {0}. Тогда элемент (g, а, b) можно представить в виде (g, а, b) = (g0, a, b0) (gg0, а0, b0) (1, а0, b). Поскольку φ - гомоморфизм, получаем соотношение

γ (g, а, b) = γ (g0, a, b0) h0 γ (gg0, а0, b0) h0 γ (1, a0, b),

где элемент h0 = Q'[ψR(b0), ψL (a0)] не равен нулю, так как θ - частичный гомоморфизм.

Положим

ω(g) = h0 γ (gg0, а0, b0), λ (a)-1 = γ (g0, a, b0) и δ (b)-1— h0 γ (1, a0, b).

Легко проверить, что ω — гомоморфизм. Следовательно, соотношение (3.1) выполняется. Для того чтобы проверить соотношение (3.2), предположим, что Р' (b, а) ≠ 0, и рассмотрим идемпотент θ(Р' (b, а)-1, а, b):

θ(Р' (b, а)-1, а, b)= (γ (Р' (b, а)-1, а, b), ψL (a), ψR(b)) =

=( λ (а)-1 ω [Р'(b, а)-1], δ (b)-1, ψL (a), ψR(b)).

Но поскольку образом идемпотента относительно частичного гомоморфизма снова будет идемпотент, мы получим

γ (Р' (b, а)-1, а, b) = Q'[ψR(b),ψL(a)]-1.

Следовательно, соотношение (3.2) выполняется.

Обратное утверждение очевидно и поэтому пункт б) доказан полностью.

в) Пусть класс J1 удовлетворяет условию пункта в) и все отображения выбраны, как в пункте б). Тогда отображение

θ = С′2φС′1-1 : M0 (G; A, B; Р′)→→M0 (Н; С, D; Q′)

представляет собой гомоморфизм, который удовлетворяет соотношению (3.1), а также соотношению (3.2) даже в том случае, когда Р'(b, а)=0, т. е.

Q′ (ψL (a), ψR (b))=

Для того чтобы убедиться в этом, вычислим обе части соотношения

θ [(1, 1, b) • (1,а, 1)] = [θ (1, 1,b)] • [θ (1, а, 1)]

при помощи выражения (3.1).

Для каждого элемента с ψL(А) и d ψR(В) выберем представителя

и соответственно. Кроме того, для а А, b В пусть и ) соответственно.

Докажем теперь, что для каждого элемента а А существует элемент ga G, такой, что λ (а)ω с (ga) λ ( ). Для каждого элемента аА существует элемент bВ, такой, что Р'(b, а)≠0 в силу регулярности. Теперь ψL (a) = ψL ( ), так что

ω [Р' (b, а)] λ (а) = δ(b)-1 Q' [ψR (b), ψL (a)] = δ(b)-1 Q' [ψR (b), ψL ( )]=

= ω [Р' (b, )] λ ( ). (3.5)

Следовательно,

λ (а) = ω [Р' (b, a)-1 Р' (b, )] λ ( ).

и потому положим ga = Р' (b, а)-1 Р' (b, ).

Аналогичным образом для каждого элемента b B существует элемент gb G, такой, что δ(b)= δ( ) ω (gb).

Определим теперь изоморфизм i: М0(G; А, B; Р')→→ ,М0 (G; А, B;Р) с помощью соотношений i (0) = 0, i (g, a, b) = (ga-1ggb-1, a, b) и полагая Р (b, a) = gbР'(b, a) ga (см. утверждение 8). Тогда С1≡iС′1 есть координатное отображение для полугруппы S.

Определим изоморфизм j : М0 (H; C, D; Q') →→ ,М0 (H; C, D; Q) с помощью соотношений j(0) =0, j(h, c, d) = (λ ( )hδ ( ), c, d) и полагая Q(d, с)=δ( )-1Q'(d, с)λ( )-1. Тогда С2=jС′2 будет координатным отображением для Т.