Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 100 )

или (х, у) = (у, х) = 0, (***)

и

(х, у) = 0 и (у, х) =0. (****)

Пример. Рассмотрим еще раз пример, приведенный на рис. 1.87, который мы повторили на рис. 5.

Рис. 5.

Здесь выписаны булева матрица, соответствующая отношению , и полученная в соответствии с (***) и (****) матрица .

Используем второй метод. Имеем

S = (a cd)(c d) = ac ad cd cd = ac ad cd,

S' = bd bc ab.

Таким образом, в этом предпорядке имеется три максимальных подотношения подобия, определенных на обычных подмножествах:

{b, d}, {b, c} и {а, b}.

Эти подотношения приведены на рис. 1.87.

14.6. Индивидуальные тестовые задачи

1. Используя понятие порядковой функции соответствующего обычного графа, представьте каждое следующее нечеткое отношение порядков в треугольной форме.

2. Для каждого из следующих рефлексивных отношений подсчитайте (max— min)-транзитивное замыкание. Таким образом получите отношение предпорядка.

а) Определите множество максимальных подотношений подобия.

б) Будут ли эти подотношения непересекающимися?

в) Можно ли отношение и (или) представить в

блочно-треугольной форме?

3. Рассмотрите определенные ниже отношения сходства; найдите:

1) соответствующие отношения подобия посредством вычисления их транзитивных замыканий;

2) соответствующие отношения различия;

3) классы пар (X, Y), для которых расстояния d (X, Y) равны 0; 0,1; 0,2;..., 0,9; 1.

4. В упражнении 3 мы получили два отношения подобия и отсюда два отношения различия:

1) для каждого отношения подобия выпишите разложение по формуле (1.107). Результаты должны быть представлены в такой же форме, как на рис. 1.80;

2) для каждого из соответствующих отношений различия найдите графы (min — mах)-расстояний по способу, который указано на рис. 1.88.

5. Пусть даны следующие семь нечетких сообщений:

Сделайте выборку из этих сообщений, используя их относительные обобщенные Хемминговы расстояния:

1) применяя (min — mах)-транзитивное замыкание отношения несходства;

2) не применяя это транзитивное замыкание, а рассматривая обычное (min — sum)-сложение.

Дайте ответ на те же вопросы, используя относительное евклидово расстояние между сообщениями.

6. Сообщения ( , , ..., ) из упражнения 5 преобразуйте в сообщения ( , ,.., ) с помощью следующего отношения:

Выберите пять сообщений ( , ,.., ) так, как это было сделано для ( , , ..., ) в упражнении 5.

7. Рассмотрите следующие десять нечетких графов, принимая их за сообщения. Отберите эти сообщения, как в упражнении 5.

8. Выполните упражнение 5 еще раз, используя алгебраическое

(а b = а + b — ab) (min — sum)-транзитивное замыкание.

Приложение

1. Обзор основных свойств и операций нечетких отношений

1.1. Понятие нечеткого отношения

Рассмотрим декартово произведение нечетких множеств

Декартово произведение нечетких множеств – это нечеткое множество всех возможных кортежей, составленных из элементов исходных множеств, функция принадлежности которых вычисляются по соотношениям:
m(x1, x2, ... , xn) = min { m1(x1), m2(x2), ... ,mn( xn)}

Пример. Декартово произведение С нечеткого множества А ="хороший студент" на нечеткое множество В = "здоровый студент", (С = A × B )

Понятие нечеткого отношения

Нечетким отношением называется нечеткое подмножество декартова произведения доменов, характеризующееся функцией принадлежности.

Функция принадлежности подмножества связана с функцией принадлежности включающего его множества неравенством: mG <= mA .

Домены могут быть обычными множествами, когда отличие нечеткого отношения от обычного сводится к появлению дополнительного атрибута – значения функции принадлежности.

Нечеткое отношение над нечеткими множествами отличается от нечеткого отношения над четкими множествами тем, что в первом случае функция принадлежности ограничена значениями функций принадлежности исходных нечетких множеств.

1.2. Пример нечеткого отношения

Нечеткое отношение называется бинарным, если оно является обобщением обычного бинарного отношения с добавлением функции принадлежности.

Пример:

Определение бинарного нечеткого отношения

Бинарное нечеткое отношение - это трехместное отношение, являющееся подмножеством декартова произведения множеств Х*Х*М, где Х - исходное множество (вершины графа), М - множества чисел от 0 до 1 (степени принадлежности дуг между вершинами).
Если матрица обычного бинарного отношения состоит из нулей и единиц, то матрица бинарного нечеткого отношения содержит произвольные неотрицательные элементы mi, j , не большие 1 .

Числовое нечеткое отношение R = "много больше" ( xRy )

Пример бинарного нечеткого отношения над целыми числами

1.3. Множества (графики) уровня нечеткого отношения

Графиками уровня Ха удобно пользоваться при формулировке и анализе некоторых задач принятия решений. Очевидны следующие правила работы с графиками уровня нечетких множеств:
( Х \/ Y )a = Xa \/ Ya ( Х /\ Y )a = Xa /\ Ya

Графики уровня бинарного нечеткого отношения определяются аналогично:
график Ra уровня a отношения R является обычным бинарным отношением, связывающим все пары, для которых степень принадлежности не меньше а.

График минимального уровня называется носителем бинарного отношения.

Пример графика уровня нечеткого отношения

1.4. Свойства нечетких бинарных отношений

Рефлексивность (Р) и антирефлексивность (АР)

Нечеткое отношение называется рефлексивным, если его функция принадлежности удовлетворяет условию ( m(x, x) = 1 ), для всех вариантов x.

Симметричность, антисимметричность, асимметричность

Нечеткое отношение называется симметричным, если его матрица отношения симметрична (m(x, y)=m(y, x) ) , для всех вариантов x, y, где m(x, y) - функция принадлежности.

Это значит, что пересечение исходного и инверсного отношений совпадает с исходным отношением.

Примером симметричного нечеткого отношения является отношение "сильно различаться по величине".

Асимметричное и антисимметричное отношения

Нечеткое отношение называется асимметричным, если асимметрична его матрица отношения ( m(x, y) * m(y, x) = 0 ), для всех вариантов x, y. Это значит, что пересечение исходного и инверсного отношений является пустым отношением.