Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 38 )

По терминологии теории намерений введенная таким образом система состоящая из области исследования и отношения (в данном случае — отношения порядка) на этой области, на­зывается эмпирической структурой с отношением. Назовем опре­деленную здесь эмпирическую структуру с отношениями структу­рой бинарной принадлежности.

Построить любую эмпирическую структуру с отношениями — значит установить гомоморфное соответствие с «числовой струк­турой с отношениями» (где область значений φ есть подмножество действительной прямой), т. е.

(1)

Кроме того, поскольку Θ состоит только из двух классов эквива­лентности по отношению А, то φ принимает только два значе­ния— по одному для каждого класса. Очевидно, что φ(θ) есть ха­рактеристическая функция χа(θ).

Теперь возникает вопрос о единственности этого числового представления. Поскольку порядок сам по себе — это только отношение, определенное на Θ, то для любых θ1, θ2 Θ уравнение (1) оказывается единственным условием, связывающим φ(θ1) и φ(θ2). Следовательно, значения шкалы φ(θ) определены с точ­ностью до строго возрастающих преобразований f; любая другая шкала φ* удовлетворяющая уравнению (1), связана с φ уравне­нием φ*( θ)= f [ φ (θ)]. Поэтому значения 0 и 1 для χа(θ) нельзя расценивать как объективное или абсолютное следствие структу­ры — именно этот факт отражается распространенным переобозначением 0 и 1 значениями f и t (f — ложно, t — истинно), где t>Af. Таким образом, χа определена на «порядковой шкале» (т. е. порядок — единственное отношение на Θ), и структура би­нарной принадлежности в действительности определяет только то­пологию.

3.1.2. Аксиоматизация понятия функции принадлежности

Числовое представление функции принадлежности для нечет­кого множества, ассоциированного с субъективным свойством, строят аналогичным образом только для того, чтобы подчеркнуть нечеткость лингвистического определения свойства . Обозначе­ние заменяется на

Определение. Пусть дана область Θ; определим на ней слабый порядоктак, чтобы

если наблюдатель считает, что «θ1 обладает свойством по край­ней мере в той же степени, что и θ2», или «утверждение, что θ1 об­ладает свойством в той же степени, что и θ2, по крайней мере истинно», или «относительно свойства объект θ1 по крайней ме­ре такой же большой как и θ2».

Аналогично тогда и только тогда, когда и

тогда и только тогда, когда и не

Таким образом, отношение для субъективного свойства читается так же, как и для объективного свойства. Однако последнее отношение может быть нарушено в трех случаях в зависимости от бинарных оценок того, может или нет θ1 и θ2 каждый обладать свойством А, как это установлено определением, введенным в разд. 3.1.1. Напротив, отношение не может быть нарушено в этих случаях, так как в суждениях об объектах θ1 и θ2 относительно субъективного свойства А учитывается степень проявления рассматриваемого свойства, т. е. для каждого объ­екта имеется не две, а континуум возможностей.

Определенная ранее системабудет называться «структурой многозначной принадлежности».

Отметим, что в приведенных определениях ничего не говорится об ограничениях, накладываемых на функцию принадлежности.

Определение. Структура принадлежности называется «ограниченной», если существуют элементы такие,

что для любого

Здесь — оцениваемый субъектом объект, функция принад­лежности которого свидетельствует о том, что он определенно об­ладает свойством — определенно не обладает. (Эти субъективные суждения интерпретируются в том смысле, что обладает максимальной принадлежностью множеству, представля­ющему — минимальной.)

Подобно структуре бинарной принадлежности ограниченная структура многозначной принадлежности допускает числовое пред­ставление в порядковой шкале.

Теорема о представлении 1. Пусть Θ — область исследования и — структура многозначной принадлежности. Тогда су­ществует действительная функция φ на Θ такая, что для всех

(2)

Более того, если —ограниченная структура принадлежности, то функция φ — ограниченная.

Теорема единственности 1. (Имеется в виду единственность числового представления структуры много­значной принадлежности в порядковой шкале.) Пусть φ* — еще одна шкала, удов­летворяющая уравнению (2). Тогда существует строго возраста­ющая функция f, такая, что

(3)

Доказательство теоремы о представлении 1 состоит из вывода соответствующего простого порядка (т. е. классов эквивалентности Θ по отношению Каждому классу эквивалентности ставится в соответствие действительное число, при назначе­нии которого учитывается только одно ограничение: если в про­стом порядке один класс не доминирует над другим, то назнача­емое ему действительное число должно быть не меньше числа, по­ставленного в соответствие другому классу. Результирующие зна­чения принадлежности ограничены снизу числом, приписанным классу эквивалентности и сверху — значением, присвоенным классу построенное соответствие единственно с точностью до строго возрастающего преобразования.

Например, если Θ ={люди различного роста} и А = высокий, то график φ(θ) в зависимости от φ(θ) для субъекта может иметь вид сплошной кривой на рис. 1, где Θ представлено соответствующей числовой областью физической меры роста (т. е. носитель —шкала в метрах).

Рис.1.

Если определить условием «принадлежность θ множеству то эта кривая будет представлять Однако даже если произвольно положить мы все же будем иметь бесконечное множество кривых в «нечеткой области» F, каждая из которых — возможный результат строгого монотонного преобра­зования шкальных значений области F. Некоторые из этих альтернативных кривых пока­заны на рисунке штриховыми линиями Заметим также, что субъективное понятие разби­вает Θ на три области: І0, І1 и F — в отличие от объективного понятия, которое разбивает Θ только на две «области безраз­личия»: І0 и І1, образованные объектами в со­ответственно, т. е. такими, при которых у субъекта не возникает неопределенности относительно того, обладают ли они свойством или нет.