Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 12 )

(b1 b2) (a1 a2) (a1 c2) (a2 c1) (c1 c2).

Теперь справедливость неравенства устанавливается в результате сокращений, так как

a1 a2≠( b1 c2) (b2 c1).

Равенство доказано

Легко доказать, что выполняется следующее важное свойство:

(представляем читателю сделать это).

(Мах—*)-композиция. В (6) операцию можно произвольно заменить любой другой, для которой выполняются те же ограничения, что и для : она ассоциативна и монотонно не убывает по каждому аргументу. Тогда можно записать

(х, z) = [ (х, z) (х, z). (31)

(Мах—• )-композиция. Среди (max-• )-композиций, которые можно было бы представить себе, особого внимания заслуживает (max—*)-композиция. В этом случае операция * — это умножение, и она обозначается знаком •; формула (31) принимает вид

(х, z) = [ (х, z) •(х, z).

Позднее нам представится случай поговорить о (max—• )-композиции и указать некоторые практические приложения ее.

Обычное подмножество α-уровня нечеткого отношения.

Пусть α [0, 1]. Обычным подмножеством α-уровня нечеткого отношения X × X будем называть обычное подмножество

Gα={(x, y)| (х, у)≥а}.

Пример 1 (рис. 27).

G0,8 = {( x1, y2), (x1, y3), (x2, y2),(x2, y4), (х3, у1)}

Рис. 27.

Пример 2. Рассмотрим нечеткое отношение, которое определено формулой

(х, у)= (32)

Подмножество уровня 0,3 будет определяться условием

или

х2 + у2 ≥ 3/7.

Это подмножество — внешность круга радиуса r =, включая его границу — окружность (см. рис. 28.).

Рис. 28.

Обычное подмножество Gα можно определить другим способом, с помощью обычного отношения , такого, что

(33)

Вернувшись к примеру на рис. 27, можно записать

Для примера на рис. 28 очевидно, что условия

(х, у)=0 при х2 + у2<3/7,

(х, у) =1 при х2+ у≥ 3/7,

определяют обычное отношение R0,3.

Мы установили очевидное свойство

α1≥α2

или, что то же самое,

Докажем теорему.

Теорема декомпозиции (Слово «декомпозиция» здесь употребляется в смысле, отличном от смысла этого слова при рассмотрении (max-min) или других композиций отношений).

Любое нечеткое отношение можно представить в форме

= α ∙, 0<α≤1, (34)

где

(х, у)=

Здесь запись α∙ обозначает, что все элементы обычного отношения увеличиваются на α.

Доказательство. Функцию принадлежности для отношения , определенного в (34), можно записать в виде

(х, у)= α(х, у)= α= (х, у)

Пример 1.

Пример 2. Согласно (33) декомпозиция остается справедливой и в случае, когда X или/и Y имеют мощность континуума. Но тогда операция (max) должна считаться выполненной (если необходимо) для континуального множества значений в рассмотренном интервале.

Рассмотрев пример (32) (см. рис. 28), можем записать

(х, у)= αRα,

где

(х, у)=

и D(α) X × Y — такая область, которая

Композиция ближайших обычных отношений.

Напомним, что обозначает обычное отношение, ближайшее к нечеткому отношению . Легко доказать, что

= = ,