Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 42 )

Описанная процедура проверки должна применяться теперь к каждому объектуи, если хотя бы одна концевая точка точно не зафиксирована в представлении эксперта, то функция не измерима в шкале отношений. Как утверждалось ранее, усло­вие, определяющее естественный нуль, по-видимому, невыполнимо для субъектов, по суждениям которых выясняется структура при­надлежностей, поэтому функция принадлежности будет измеряться в шкале, не сильнее шкалы интервалов. Мы чувствуем, что искать точное (с учетом ограничений на физическую различи­мость) - разбиение Θ на интервалы на основе свойства представление о котором у субъекта неточно (неопределенно или неясно), — изначально неосуществимое желание, к тому же

противоречащее основным предпосылкам теории нечетких мно­жеств

В заключение отметим, что разделе 3.1 предложена модель измерения нечеткости для неп­рерывного носителя Х(Θ). Сформулированы теоремы представле­ния и единственности и предложен тест для проверки того, какая из двух шкал измерения принадлежности применима в конкретной модели: шкала отношений или всего лишь интервалов. Эта модель измерения может использоваться как основа для по­строения функций принадлежности. Описаны методы шкалирова­ния и некоторые предварительные результаты их использования в эмпирических исследованиях

3.2. Робастость операторов нечетких отношений

Нечеткое отношение R можно построить по заданной цепи им­пликаций Отношение рассматривается как оператор, ставящий в соответствие нечеткому множеству А неко­торое нечеткое множество В в качестве значения оператора на аргументе А. Рассматривается проблема характеризации робастности такого оператора. А именно, для заданного нечеткого мно­жества В — элемента области значений отношения R характе­ризуется семейство нечетких множеств (содержащихся в области определения R), таких, что для любого Характеризация семейства A формулируется как эффективное и необ­ходимое условие принадлежности А к A.

Как в классической теории множеств, так и в теории нечет­ких множеств, понятие отношения служит основой для теоретичес­кого определения понятия отображения. Для данных пространств X и Y отображение можно рассматривать как подходящее под­множество прямого произведения X×Y. Как в тео­рии, так и на практике, существует множество других путей кон­кретизации этого понятия. Однако фундаментальное определение базируется на теоретико-множественной концепции. Этот же путь Заде выбрал для определения нечеткого преобразования. По данным отношениям атомарной импликации строится глобальное отношение которое в сочетании с композиционным правилом вывода играет роль оператора. Для данного аргумента — нечеткого множества, взятого из подходя­щим образом определенной области, используя оператор R, можно получить нечеткое множество, представляющее значение это­го преобразования. Таким образом имеем дело с системой

(1)

где А — аргумент (входное множество), В — значение (выход­ное множество).

В определении нечеткого преобразования по Заде и почти во всех практических работах опорные пространства входных и вы­ходных множеств предполагаются дискретными. Это позволяет представить систему (1) в виде конечной системы алгебраических уравнений, записанных на языке операторов взятия минимума и максимума:

или согласно определению операции в виде

(2)

С системой (2) связано много проблем, которые должны быть решены прежде, чем ее можно будет использовать на практике в соответствии с эвристическим композиционным пра­вилом вывода. Одна из наиболее привлекательных проблем — проб­лема о разрешимости системы (2) и поисках ее решений. Зада­ча состоит в том, чтобы по данным R и В сказать, можно ли най­ти множество А такое, что и если да, то определить все такие множества. Далее рассматриваются обе эти проблемы. Вопрос существования был косвенно решен в ряде работ и в несколько модифицированном виде будет рассмотрен в сле­дующем разделе. Что же касается определения решений системы (2), то оказывается, что обычно приходится иметь дело с семей­ством нечетких подмножеств. Это установленный факт, но оста­ется проблема описания этого семейства. Частично это было сде­лано в ряде работ: указана верхняя граница семейства решений. В этих работах приводится эффективное условие, согласно кото­рому нечеткое множество становится решением системы (2). Дальнейшее исследование и эффективное определение семейства решений для данных R и В приводится в разд. 3.2.2. В последнем разделе формулируются некоторые наиболее важные свойст­ва этого семейства. До сих пор внимание было привле­чено к проблеме решения системы (2). В то же время название раздела говорит о робастности. Фактически проблема робастности возникает в связи с некоторыми выводами о струк­туре нечеткого оператора R на заданном множестве решений сис­темы. Если система (1) обладает свойством хорошего отображе­ния, то очевидно, что равенство справедливо при любом Для практических применений важно знать, как «далеко» от Аі можно сдвигать нечеткое множество на входе сис­темы (1), не изменяя значения Ві на выходе.

3.2.1. Верхняя граница

Пусть заданы пространства X и Y, card Х<∞, card Y<∞. Для простоты предположим, что функции принадлежности, опреде­ленные на X или Y, принимают значения в единичном интервале, однако это могла бы быть любая вполне упоря­доченная полная Брауэрова структура. Для любых элементов а, положим Теперь можно ввести операцию α для нечетких подмножеств.

Определение 1. Пусть А — нечеткое подмножество простран­ства X, R — нечеткое отношение, определенное на прямом про­изведении X×Y. Тогда

Для данного отношения R, определенного на X×Y, можно опре­делить так называемое обратное отношение R-l на Y×X услови­ем: В этом контексте можно установить тео­рему.

Теорема 1. Пусть даны: нечеткое отношение R, определенное на Х×Y, А и В — нечеткие подмножества X и Y соответственно. Тогда для фиксированных R и В имеем

2)— максимальный элемент семейства при условии, что

В свете проблемы поиска решения для системы (2) сформу­лированную теорему можно назвать теоремой существования, так как условие 1 дает ответ на вопрос о существовании решения. Ус­ловие 2 дает одно из решений, а именно, наибольшее. Для ос­тальных решений справедливо следующее утверждение:

Утверждение 1. Пусть для данных R и В, и некоторого нечет­кого входного множества А имеем: Тогда для любого нечеткого D, такого, что

справедливо равен­ство

Доказательство. В силу условия 2 и простых свойств опера­ций получаем

Тогда

для любого Это означает, что

При поиске всех представителей семейства мы сталкиваем­ся с более сложными проблемами. Чтобы дать необходимое и достаточное условие принадлежности нечеткого аргумента А се­мейству потребуются дополнительные теоретические рассмот­рения.

3.2.2. Характеризация семейства