Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 9 )

Композиция и с помощью (max—min)-оператора представлена на рис. 23.

Рис. 23.

Легко увидеть, что

(а, b) = е = е

И для произвольных значений х и z имеем

(x, b) = е

Для простоты мы рассмотрели две идентичные функции (x, y) и (у, z). Но ход рассуждений не меняется и при двух различных функциях: накладываем графики (a, y) и (у, b) друг на друга и определяем кривую

(a, y) (у, b)

как функцию от у; потом находим точку на этой кривой, которая отвечает максимальному значению у.

Проблема усложняется, если абсцисса максимума не единственная. Это заставляет нас провести более сложные исследования.

Рассмотрим другой пример для функции принадлежности, которая определена на конечном универсальном множестве.

Пример 2 (рис. 24).

Рис. 24.

Пусть (х, z) = (xl, z1),

MIN ( (x1,y1), (у1,z1)) = MIN (0,1; 0,9) = 0,1;

MIN ( (x1,y2), (у2,z1)) = MIN (0,2; 0,2) = 0,2;

MIN ( (x1,y3), (у3,z1)) = MIN (0; 0,8) = 0;

MIN ( (x1,y4), (у4,z1)) = MIN (1; 0,4) = 0,4;

MIN ( (x1,y5), (у5,z1)) = MIN (0,7; 0) = 0.

[MIN( (x1,yі), (уі,z1))]=MAX (0,1; 0,2; 0; 0,4; 0) = 0,4.

Пусть теперь (х, z) = (х1, z2), тогда

MIN ( (x1,y1), (у1,z2)) = MIN (0,1; 0) = 0;

MIN ( (x1,y2), (у2,z2)) = MIN (0,2; 1) = 0,2; ...

и т. д. Результат представлен на рис. 24.

Сравним композицию нечетких отношений с композицией обычных отношений.

Для композиции обычных отношений R1 и R2 имеем

(х, z)= [MIN( (x, y), (у, z))], (9)

где (х, у) {0,1}, (y, z) {0,1}.

Тогда выражение (1.9) можно записать в виде

(х, z)= ( (x, y) ∙(у, z))], (10)

где ∙ обозначает булево умножение и — булеву сумму полученных произведений.

На рис. 25 приведен пример, рассчитанный по формуле (9) или, что то же самое, — по (10).

Рис. 25.

Пример 3. На рис. 26 рассматривается пример композиции трех отношений.

Рис. 26.

Операция (max—min)-композиции ассоциативна

.

С другой стороны, если отношение определено на X×X, т. е.

X×X, тo можно записать

=

отсюда

= =

и в общем случае

.

Заметим, что (max—min)-композиция дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна относительно пересечения:

()=()() (11)

()≠()() (12)

Приведем доказательства выражений (11) и (12).

Раньше мы не всегда выполняли доказательства некоторых операций на предмет «максимальный из...» или «минимальный из...». Это было связано с тем, что такие доказательства можно получить как непосредственные следствия из свойств верхней или/и нижней границы решетки.

Пусть – операция взятия нижней границы, а – верхней границы двух элементов (Хi, Хj) решетки. В решетке выполняется четыре двойственных свойств этих операций:

коммутативность (13)

ассоциативность (14)

идемпотентность (15)

поглощение (16)

Кроме того, если решетка дистрибутивна, то справедливо и свойство

дистрибутивность (17)

Если решетка с дополнениями, то справедливо и свойство

дополнения (18)

Рассмотрим несколько примеров систематического доказательства различных формул.

Случай L = [0, 1] охватывает все нечеткие подмножества в смысле Заде.

Целиком упорядоченное множество [0, 1] представляет собой дистрибутивную решетку, но без дополнений. Следовательно, все свойства (13-17) удовлетворяются и можно обозначить через , а — через ; нижнюю границу можно называть минимумом, а верхнюю границу — максимумом.

Пусть мы хотим доказать равенство

А (В С) = (А В) (А С). (*)