Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 85 )

Действительно, пусть и и — функ-

ции принадлежности для Р и Q. Тогда

Очевидно, имеем

Суммируя эти неравенства по воем парам (х, у), имеем

Отсюда получаем

Поскольку

Пусть теперь для Покажем, что

Предположим противное, т. е., что Повторяя почти дословно предыдущее рассуждение, получим

Отсюда Полученное противоречие доказывает, что

Покажем теперь, что функция l(R) на удовлетворяет всем условиям теоремы 12.2. Во-первых, функция l(R) взаим-

нооднозначна на в силу только что доказанного свойства. Очевидно также, что Перейдем к доказательству свойства (2). Пусть сначала для и Пусть для определенности также Тогда и Отсюда

и, следовательно, Используя доказанное выше свой-

ство функции l, имеем Далее, из и

в силу следствия из леммы 12.1, имеем откуда Окончательно:

Остальные случаи разбираются аналогично. Пусть теперь

для точек R, P, Q линейного сегмен­та Пусть для определенности, Со­гласно свойству функции l имеем иили и . Отсюда получаем

и, следовательно,Теорема доказана.

Следствие. Из следует в линейном сег-

менте

Доказательство. Из имеем Но по-

cкольку то

Функцияопределенная условиями теоремы 12.2, как бы

нумерует точки линейного сегмента от

12.2. Выпуклые множества и выпуклые оболочки

Понятие «между», введенное в определении 12.2, позволяет

дать следующее определение выпуклого множества в простран­стве

Определение 12.5. Множество X точек пространства назы­ваетсявыпуклым, если из и следует

Это определение дословно повторяет известное геометрическое определение выпуклого множества.

Определение 12.6. Выпуклой оболочкой множества X в

пространственазывается наименьшее выпуклое множество,

содержащее данное множество X.

Легко видеть, что выпуклая оболочка множества X всегда существует, определяется единственным образом и совпадает с пересечением всех выпуклых множеств пространства содержащих данное множество X.

Наличие альтернативного определения «между» для совокуп­ности точек пространства (см. определение 12.3) приводит нас к понятию точки Парето для множества точек пространства

Определение 12.7. Точку Р пространства будем называть

точкой Парето (мы употребляем это понятие в ином смысле, чем оно используется в теории функций выбора.) множества X точек пространства если

Множество всех точек Парето множества X будем обозначать П(Х). Выше (см. раз. 7) мы уже обсуждали важность этого по­нятия в теории группового выбора.

Установим теперь взаимосвязь понятий выпуклости и точек Парето. Начнем со следующего утверждения.

Лемма 12.3. Для любого множества точек X в пространстве

С(Х) П(Х).

Доказательство. Следует из леммы 12.1.

Как показывают простые примеры, вообще говоря, множества различны. Однако, как и в четком случае, имеется целый класс пространств, для которых множество точек Парето любого множества совпадает с выпуклой оболочкой этого мно­жества.

Определение 12.8. Пространствоназывается полным, если

для любых различных точек R' и R" существует линейный сег­мент в который можно представить в виде объеди­нения линейных сегментов:

(где таких, что симметрическая разность есть одноэлементное нечеткое множество для всех Сформулированное условие полноты пространствагарантирует не только достаточный запас точек в пространстве, но и относительно «плотное» их расположение.

В качестве примера полного пространства рассмотрим про­странство всех нечетких отношений на данном множестве А. Покажем, чтодействительно полное пространство. Пусть R' и R"—две различные точки в Обозначим Очевидно, что Построим линейный сегмент от R' к R" считая, что Поскольку то Занумеруем произвольным образом пары (х, у), для которых