Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 31 )

Продолжим процесс обобщения исходного н. о.п. . Рассмотрим полученную функцию  в (9.5.7) как нечеткое отображение , где  – класс всех нечетких подклассов класса Y. Согласно принципу обобщения образом  при нечетком отображении  является нечеткий подкласс класса Y с функцией принадлежности вида

 ,  (9)

причем его можно понимать как подкласс нечетких подмножеств в Y  таких, что . Из (8), (9) получаем следующее выражение для функции принадлежности обобщенного нечеткого отношения предпочтения:

   (10)

Аналогично можно прийти к выводу о том, что обратное предпочтение  выполняется со степенью, равной величине

 .  (11)

Пример 1. Пусть Y – числовая ось и заданное н. о.п.  – естественный порядок на Y. Тогда равенства (7), (8) запишутся в виде

     (12)

     (13)

Пусть нечеткое множество  имеет вид, показанный на рис. 1.

Pис. 1.

Пользуясь выражениями (12), (13), получаем

 ,

Заметим, что из определений отношений эквивалентности и строгого порядка, получаем:

 эквивалентно  со степенью 0.7;

 строго лучше  со степенью 0.3;

 эквивалентно  со степенью 0.7;

 строго лучше  со степенью 0.3;

Пример 2. Пусть – заданное нечеткое множество A в X, которое имеет функцию принадлежности , задаваемую в табл. 1, а нечеткое отношение R имеет функцию принадлежности  (табл. 2).

Таблица 1		Таблица 2
					\
	0.3	0.7	1.0			0.8	1	0	0.3	0.7
						0.8	0.3	0.8	0.4	0.7
						0.2	0.3	0.5	0.2	1

Найти образ B  нечеткого множества A в X, генерируемый отображением R .

Решение. Согласно (3) найдем функцию принадлежности нечеткого множества B:

Вычислим сначала . Для этого проведем операцию нахождения  min для всех элементов строки  и столбца  (табл. 2). Это дает

После выполнения операции max на элементах полученного столбца получим:  Таким образом, . Проделав аналогичные операции со строкой и всеми столбцами  табл. 2, получим:

 ; ; ;

Рассмотрим некоторые свойства введенного нами обобщенного нечеткого отношения предпочтения η, которые определяются свойствами исходного отношения  и классом нечетких множеств, на котором оно рассматривается.

Теорема 1. Если н. о.п.  на Y рефлексивно, то и индуцированное им н. о.п. η тоже рефлексивно на классе всех нормальных нечетких подмножеств множества Y.

Доказательство. Если  нормально, т. е.  то из (10) получим

  (14)

поскольку  при любом , то отсюда заключаем, что . Теорема доказана. В следующих теоремах рассматривается вопрос линейности н. о.п.

Теорема 2. Если н. о.п.  на Y l - сильно линейно, то и индуцированное им н. о.п. η также сильно линейно на классе всех нормальных нечетких подмножеств множества Y.

Теорема 3. Если н. о.п.  на Y l - линейно, то и индуцированное им н. о.п. η также линейно на классе всех нормальных нечетких подмножеств множества Y , обладающих свойством  .

Таким образом, свойство линейности исходного н. о.п.  переносится на индуцированное им обобщенное н. о.п. η

Пример 3. Универсальное множество X непрерывно. Пусть X=R+, а нечеткое множество A  в X задано в виде . Нечеткое отношение  имеет функцию принадлежности , при k2>k1 (функции и  приведены на рис. 2,а, 2,б). Требуется найти образ B в Y, генерируемый нечетким отношением R .