Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 84 )

Пусть— произвольное пространство нечетких отношений.

В дальнейшем мы отождествляем точки пространствас со-

ответствующими им отношениями. Перейдем к изучению геомет­рических структур в Для четкого случая эти структуры бы­ли введены и изучены в разделе 7.

Определение 12.2. Пусть R' и R" —различные точкн простран­ства Точка R лежит между точками R' и R" (обозначается

тогда и только тогда, когда

Введенное понятие «между» допускает обобщение на случай произвольной совокупности предпочтений. Пусть І — множество индексов.

Определение 12.3. Пусть — произвольное семейство

точек пространстваТочка лежит между точками

семейства (обозначается тогда и только тогда, когда

Докажем теперь вспомогательное утверждение, устанавливаю­щее связь различных определений «между».

Лемма 12.1. Пустьдва семейства в прост-

ранстве Тогда из для всех и в следует, что

Доказательство. Изследует

дляДалее, по условию леммы

Очевидно, имеем

откуда

Следствие. Пусть Тогда любое

R, лежащее между R' и R", лежит также и. между R1 и R2.

Пусть R' и R" —две различные точки пространства

Определение 12.4. Линейным сегментом между точ-

ками R' и R" в пространственазовем максимальное множество точек, лежащих между R' и R", удовлетворяющее условию: для любых или или

Очевидно, что и

Теорема 12.1. В произвольном пространстве нечетких отноше­ний между любыми двумя различными точками существует линейный сегмент.

Доказательство. Предварительно докажем вспомогатель­ное утверждение. Пусть R' — точка вОпределим на множе­стве всех точек пространства отношениеследующим обра­зом: тогда и только тогда, когда

Лемма 12.2. Отношение есть нестрогий частичный порядок на т. е. рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отно­шение.

Доказательство.

1. Рефлексивность, так как

2. Антисимметричность. Пусть Тогда имеем одновременно и откуда

Отсюда Q = Р, и, следовательно, выполняется только одно из ис­ходных неравенств.

3. Транзитивность. Пусть Тогда и

Из следствия к лемме 12.1 получаем откуда

Вернемся к доказательству теоремы 12.1. Отношение опре­деленное на всем пространствеотносительно точки R', пре­вращает множество всех точек лежащих между R' и R", в частично упорядоченное множество c наименьшим элементом R' и наибольшим элементом R". Напомним, что цепью в частично упорядоченном множестве называется такое подмножество, любые два элемента которого сравнимы. Легко видеть, что согласно опре­делению 12.4 линейный сегмент есть ни что иное, как максималь­ная цепь относительно порядка Согласно известной теореме Хаусдорфа максимальная цепь в частично упорядоченном множестве всегда существует. Такая максимальная цепь и задает нам линейный сегмент

Теорема 12.1 доказана.

Замечание. Теорема 12.1 устанавливает существование ли­нейных сегментов. Вообще говоря, утверждение о единственности линейного сегмента неверно. Как правило, их может быть беско­нечно много, если пространство бесконечно.

В следующей теореме будет дана характеристика линейного сегмента, устанавливающая аналогию введенного понятия с поня­тием линейного сегмента, использованным в разделе 7 для чет­кого случая.

Теорема 12.2. Для любого линейного сегмента суще-

ствует определенная на нем взаимнооднозначная функция l(R) со значениями в интервале [0, 1], удовлетворяющая следующим условиям:

тогда и только тогда, когда

Очевидно, что условие (2) означает, что число l(R) лежит между числами тогда и только тогда, когда R лежит между Р и Q.

Доказательство теоремы 12.2. Пусть, как обычно, обозначает функцию принадлежности отношения R. Определим функцию l(R) на пространствеформулой

(*)

где R' и R"— фиксированные точки пространства

Ограничение функции l(R) набудем обозначать тем же символом l(R). Докажем важное свойство функции

тогда и только тогда, когда причем равенство достигается только в случае Р = Q.