Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 51 )

Этот подход широко используется в литературе по нечеткому управлению.

Однако можно предпочесть направленную интерпретацию гра­нулярной спецификации и допустить некоторую причинную связь между Хі и Yi. Тогда пара (Хі и Yi) означает «если х есть Хі , то у есть Yi». Используя какую-нибудь многозначную импликацию, можно определить Ri, например, условием

(11)

(12)

Следует отметить следующие свойства:

для (х, у) таких, что (т. е. у есть возможное

значение f(x) в (2))

если Хі — нечеткое множество, то (строгое включение). Это обусловлено частичным перекрытием Хі и (дополнением Хі), которое мешает восстановлению исход­ной информации для низких степеней принадлежности. Можно показать, что для непрерывных Хі

если (т. е. х не имеет ничего общего с Хі), то

при любом у, что означает: у совершенно неопреде­ленен, в то время как

Глобальное отношение, определенное на семействе

с помощью некоторой импликации, можно получить, по­лагая

где означает min.

Это агрегирование можно оправдать тем фактом, что если па­ра (Хі, Yi) четкая при любом i и множества Хі представляют со­бой последовательность соседних непересекающихся интервалов, то

Однако есть доводы и против такого объединения отношений

Примечание. Наибольшее решение в (8) (в смысле обыч­ного включения нечетких множеств) имеет вид

Оно соответствует импликации Брауэра и, таким образом, вы­ражает причинность.

Если импликацию (11) заменить ассоциированной с ней экви­валентностью, то поскольку min(max(l—a, b), max(a, 1— b))= max(min(a, b), min(l—а, 1—b)), функцию ' следует

заменить нагдеобо-

значают дополнения Хі и Yi соответственно. Такая эквивалент­ность соответствует высказыванию «х есть Хі и у есть Yі» или «х не есть Xi и у не есть Yi», которое запрещает как высказыва­ние «х есть Xi и у не есть Yi», так и «х не есть Xi и у есть Yi».

Таким образом, при использовании эквивалентности заранее предполагается, что соответствие Хі и Yi будет однозначным в каждом из этих двух возможных смыслов.

При использовании импликации заранее предполагается, что нечетко специфицированное отображение рассматривается как «грубое отображение», обратное к «грубо инъективному», по­скольку, когда х принадлежит Хі, исключается любое другое не­четкое значение, отличное от Yi. Использование прямого произве­дения не накладывает заранее никаких ограничений и не мешает парам быть представленными в спецификациях.

Утверждения вроде «х принадлежит Xi и у принадлежит Yi», «если х принадлежит Xi, то у принадлежит Yi», «у принадлежит Yi, тогда и только тогда, когда х принадлежит Хi» представляют со­бой нечеткие гранулы информации. Заде использовал это вы­ражение в другом контексте, но с аналогичным смыслом. Выска­зывание «х принадлежит Хi и у принадлежит Yi» соответствует нечеткой грануле (конечно, если Хі и Yi — взаимодействующие, то можно заменить соответствующим подмножеством), выражающей локальную информацию без какого-либо предварительного предположения о природе того, что специфици­руется.

Примечание. Одна из важнейших проблем заключается в оценке нечеткого множества Y′, соответствующего данному нечет­кому множеству по гранулированной информации, заданной пара­ми (Хі , Yi). Поскольку мы пренебрегаем тем, что же точно сог­ласно (2) отображается соответствием то можно попы­таться экстраполировать Y′.

В литературе по нечеткому управлению Y′ обычно определя­ется выражением

Можно показать, что это эквивалентно

т. е. эквивалентно сохранению раздельных гранул при выполне­нии max-min композиции и последующего объединения результа­тов. Более того, имеем

(13)

где hgt есть высота нечеткого множества;

Очевидно, что при этом подходе выполняется неравенство

(14)

которое представляет естественное требование. На основе (12) предложен другой способ определе­ния Y′:

При таком подходе правила сохраняются раздельными.

Для того чтобы судить относительно возможности сохранить или не сохранить эти правила раздельными, требуется тщательно изу­чить приводит ли использование импликации при работе с грану­лированными спецификациями к возможному удовлетворению та­ких естественных требований, как (14).

5.4. Грану­лированные спецификации

В этом разделе рассмотрение ограничивается спецификация­ми, составленными из множества «гранул» Други­ми словами, каждая гранула (Хi, Yi) интерпретируется как пря­мое произведение: нечеткое множество выглядит как не­четкое пятно или гранула в этой области.

При построении гранулированной спецификации информация должна анализироваться по ее полноте, согласованности и избы­точности.

По-видимому, полноту спецификации логично связать с каче­ством покрытия множества X, области определения Покрытие

равно дополнению до 1 возможности того, что существует элемент из области который не «принадлежит» нечеткому мно­жеству

Другими словами, это есть мера невозможности этого события и мера необходимости противоположного события:

«Все элементы области действительно «принадлежат» не­четкому множеству

Функцией оценивается, с какой степенью

множества Хі образуют хорошее покрытие области

Примечание. В ряде работ излагается, по-видимому, более вероятностный подход, поскольку при определении нечеткого раз­биения накладывается требование

Если исключить нарушение непрерывности предмета спецификации, то две пары будут выглядеть противоречивыми как

при близких Хi и Хj, так и далеко расположенных друг от друга Yi и Yj. Предположим, что существует отображение f такое, что