Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 33 )

Действительно, в этом случае

Тогда равенство (15) будет иметь вид

Можно убедиться в том, что если функция φ нормальная (), то н. о.п. рефлексивно, т. е., .

Выделим в множестве X  с н. о.п. η  нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив. Согласно определению  оно задается так

 .  (17)

Окуда с учетом (15) получаем

   (18)

Рассмотрим более простую, но практически важную задачу, когда множество оценок Y  – числовая ось. Тогда выражение (15) принимает вид

 ,  (19)

а решением соответствующей задачи НМП является нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив вида

   (20)

Величина  есть степень недоминируемости альтернативы x. Если , то в множестве X нет ни одной альтернативы, которая бы доминировала альтернативу x со степенью, большей, чем 1-α. Покажем, что для нахождения альтернативы, не доминируемой со степенью, не меньшей, чем α, достаточно решить следующую задачу НМП

   (21)

при ограничениях 

.

Теорема 4. Пусть нечеткая целевая функция  такова, что  при любом  и пусть η - н. о.п. на X,  индуцированное отношением нестрогого порядка на числовой оси Y и функцией φ. Если (x0, y0) – решение задачи (21), то , где – нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив во множестве (X, η).

Доказательство. Пусть пара – решение задачи (9.5.21). Тогда, как следует из (20), для доказательства теоремы 4. достаточно показать, что

Допустим противное, т. е., найдутся и ε>0 такие, для которых

  (22)

Выберем  так, что  (существование такого  следует из предположений о функции φ(x, y) в условиях теоремы 4).

Поскольку пара (x0, y0)  – решение задачи (21), то и, кроме того φ(x0, y0)≥α . Отсюда , но тогда неравенство (22) невозможно, так как левое слагаемое в левой части (22) не может превышать 1.

Из доказанной теоремы вытекает, что любые условия, достаточные для решения задачи (21), достаточны и для существования соответствующих недоминируемых альтернатив в множестве. В частности, справедлива следующая теорема.

Теорема 5. Если множества X и Y  компактны, причем Y - подмножество числовой оси, функция  полунепрерывна на произведении  при любом  и η  н. о.п. на X, индуцированное отношением порядка (≥) на Y  и функцией φ, то во множестве (x, η) имеется, по крайней мере, одна альтернатива x, для которой .

2.13. Некоторые свойства отношений подобия и сходства

Теорема декомпозиции для отношения подобия. Пусть — отношение подобия в Е × Е. Тогда можно разложить так:

= α •Rα, 0<α≤ 1, (1)

при

α1 > α 2 R2 R1

где Rα — отношение эквивалентности в смысле обычной теории множеств и α•Rα обозначает, что все элементы обычного отношения Rα умножаются на α .

Доказательство. Во-первых, (х, х)=1, откуда следует, что (х, х) Rα при α [0,1]; следовательно, Rα обладает свойством рефлексивности.

Во-вторых, положив (х, у) Rα , α [0,1], получим, что (х, у)≥α

и в силу симметрии Rα:(у, х)≥α. Следовательно, Rα обладает свойством симметрии.

В-третьих, для всех α [0,1] предположим, что (х, у) Rα и (у, z) Rα; тогда (у, х)≥α и (y, z)≥α; следовательно, по транзитивности (x, z) ≥ α и Rα транзитивно.

Поскольку Rα рефлексивно, симметрично и транзитивно, то Rα — отношение эквивалентности. Справедлива и обратная теорема.

Обратная теорема. Если R1 не пусто, (х, х) R1 и

(х, х)=1, х Е, (2)

тогда — рефлексивное нечеткое отношение.

С другой стороны, можно записать

( х, у) E×Е: (х, у) = α •(x, у). (3)

Очевидно, что из симметричности каждого Rα следует симметрия . Наконец, пусть

(х, у) = α и (у, z) =β.

Тогда

(х, у) Rαβ и (у, z) Rαβ.

Как следствие получаем

(х, z) Rαβ.

поскольку Rαβ транзитивно.

Следовательно,

x, y, z Е: (х, z)≥αβ

и

(х, z) ≥ ( (х, у) (у, z)),