Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 1 )

Парадигма развития науки

Методологическое обеспечение

А.Е. Кононюк

ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНАЯ МАТЕМАТИКА

Книга 3

Отношения

Часть 2

Нечеткие

Киев

«Освіта України»

2013

УДК 51 (075.8)

ББК В161.я7

К65

Рецензенты:

- к-т физ.-мат. наук, доц. (Национальный технический университет „КПІ”);

- д-р физ.-мат. наук, проф., - к-т техн. наук, доц. (Киевский университет экономики, туризма и права);

- д-р техн. наук, проф. (Национальный авиационный университет).

К213 Дискретно-непрерывная математика. (Отношения (нечеткие)). — В 12-и кн. Кн 3, ч.2.— К.:Освіта України. 2013. —456с.

ISBN 978-966-373-693-8 (многотомное издание)

ISBN 978-966-373-694-5 (книга 3, часть 2)

Многотомная работа содержит систематическое изложение математических дисциплин, исспользуемых при моделировании и исследованиях математических моделей систем и сетей.

В работе излагаются основы теории множеств, отношений, поверхностей, пространств, алгебраических систем, матриц, графов, математической логики, теории формальных грамматик и автоматов, теории алгоритмов, которые в совокупности образуют единную методолгически взамосвязанную математическую систему «Дискретно-непрерывная математика».

Для бакалавров, специалистов, магистров, аспирантов, докторантов всех специальностей.

УДК 51 (075.8)

ББК В161.я7

ISBN 978-966-373-693-8 (многотомное издание) © , 2013

ISBN 978-966-373-694-5 (книга 3, часть2) © Освіта України, 2013

Оглавление

1. Введение в нечеткие отношения.............................................................6

1.1. Определения и операции над нечеткими отношениями....................6

1.2. Композиция двух нечетких отношений.............................................24

1.3. Нечеткое подмножество, индуцированное отображением..............36

1.4. Условные нечеткие подмножества.....................................................39

2. Свойства нечетких отношений..............................................................48

2.1. Свойства нечетких бинарных отношений.........................................48

2.2. Декомпозиция нечетких отношений..................................................54

2.3. Транзитивное замыкание нечетких отношений................................57

2.4. Нечеткие отношения предпорядка.....................................................65

2.5. Отношение подобия.............................................................................68

2.6. Подотношение подобия в нечетком предпорядке............................71

2.7. Антисимметрия....................................................................................73

2.8. Нечеткие отношения порядка.............................................................76

2.9. Отношения различия...........................................................................85

2.10. Отношения сходства..........................................................................89 2.11. Гносеологические аспекты нечетких отношений сходства.........101

2.12. Обобщение нечеткого отношения предпочтения. Принцип обобщения. .......................................... ....................................................109

2.13. Некоторые свойства отношений подобия и сходства..................125

2.14. Некоторые свойства нечетких отношений совершенного порядка.......................................... ............................................................145

2.15. Обзор простейших функций принадлежности..............................152

3. Отдельные аспекты нечеткости отношений.......................................167

3.1. Фундаментальное из­мерение нечеткости........................................167

3.1.1. Аксиоматизация понятия характеристической функции............168

3.1.2. Аксиоматизация понятия функции принадлежности.................170

3.1.3. О силе шкалы..................................................................................177

3.2. Робастость операторов нечетких отношений..................................182

3.2.1. Верхняя граница..............................................................................184

3.2.2. Характеризация семейства ......................................................185

3.2.3. Некоторые свойства прос­транства решений................................190

4. Эталонный подход к получению нечеткого отношения предпочтения.............................................................................................192

4.1. О понятии эталона. Эталонное отношение в четком случае.........192

4.2. Общая схема проведения экспертных оценок................................194

4.3. Формальное описание отношений в общей схеме экспертизы....195

4.4. Закон взаимодействия отношений..................................................197

4.5. Выбор на основе отношения............................................................199

4.6. Вопросы практического применения эталонного подхода...........201

5. Вопросы анализа и синтеза нечетких отображений..........................207

5.1. Различные типы спецификаций ото­бражений................................208

5.2. Четкое представление нечеткой гранулированной

спецификации........................................................................................... 211

5.3. Нечеткое представление нечеткой гранулированной

спецификации...........................................................................................212

5.4. Грану­лированные спецификации.....................................................216

5.5. Не­четкие представления то­чечных данных....................................218

5.6. Примеры решения задач...................................................................219

6. Построение групповых решений в пространствах четких

и нечетких бинарных отношений............................................................227

6.1. Геометрический подход к проблеме группового выбора..............231

6.1.1. Представление предпочтений........................................................232

6.1.2. Геометрический подход.................................................................242

6.2. Бинарные отношения (четкий случай).............................................244

6.2.1. Понятие бинарного отношения.....................................................245

6.2.2. Действия над бинарными отношениями......................................246

6.2.3. Свойства бинарных отношений.....................................................249

6.3. Пространства четких бинарных отношений..................................251

6.3.1. Три класса отношений...................................................................252

6.3.2. Пространства предпочтений и безразличия.................................253

6.3.3. Диаграмма пространств предпочтений и безразличия................255

7. Геометрические структуры пространств бинарных отношений......263

7.1. Отношение «между»..........................................................................265

7.2. Выпуклые множества и выпуклые оболочки..................................268

7.3. Выпуклые оболочки и проблема группового выбора....................272

8. Теория выпуклых множеств в пространствах частичных

порядков и квазитранзитивных отношений.......................................... 273

8.1. Выпуклые множества в пространстве....................................273

8.2. Базис и ядро в пространстве ..................................................277

8.3. Геометрические структуры в пространстве .........................278

8.4. Построение ядра в пространстве ...........................................280

8.5. Построение ядра в пространстве ...........................................281

8.6. Блок-схема алгоритма «Ядро»..........................................................283

9. Общий анализ выпуклых и метрических структур...........................291

9.1. Близость и метрика в полных пространствах бинарных

отношений................................................................................................292

9.2. Пространства и........................................................................................296

9.3. Полные и неполные пространства...................................................300

9.4. Сравнение геометрического и метрического подходов.................301

10. Практическое применение геометрического подхо­да....................321

10.1. Анализ экспертиз НИР....................................................................321

10.2. Процедура выработки группового решения..................................327

10.3. Обсуждение......................................................................................334

11. Нечеткие соответствия, нечеткие бинарные отношения,

нечеткие отображения..............................................................................337

11.1. Введение...........................................................................................337