Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 95 )

где *— некоторая операция в L. Оказывается, что из множества всех отношений порядка можно выделить значительное количество отличающихся друг от друга классов порядков специального вида, определяемых как способом задания операции *в L, так и способом записи условия транзитивности. Далее перечислим некоторые условия транзитивности, определяющие эти классы нечетких строгих порядков. Учитывая асимметричность отношения строгого порядка L, будем полагать , если .

Ацикличность:

Слабая транзитивность:

Отрицательная транзитивность:

( )- транзитивность:

( )- транзитивность:

( )- транзитивность:

Сильная транзитивность:

Сверхсильная транзитивность:

Метрическая транзитивность:

Квазисерийность:

Ультраметрическая транзитивность:

В общем случае предполагается, что рассмотренные условия транзитивности определены для L=[0, 1], хотя некоторые условия могут быть обобщены и на случай, когда L является решеткой.

Условия ацикличности, слабой транзитивности и отрицательной транзитивности нечеткого отношения P равносильны соответственно условиям ацикличности, транзитивности и отрицательной транзитивности обычного отношения P0, определяемого следующим образом:

Аналогичные свойства могут быть определены как α-свойства для различных α - уровней Pα отношения P.

В отличие от первых трех свойств, остальные свойства более специфичны для нечетких отношений и в большей мере учитывают согласованность силы отношения между элементами множества X. Для этих свойств также могут быть сформулированы α - свойства.

Частным случаем сильного порядка (порядка, удовлетворяющего условию сильной транзитивности) является метрический порядок. Для асимметричных отношений условие метрической транзитивности эквивалентно неравенству треугольника.

Условие квазисерийности определяет нечеткую квазисерию. Каждый α - уровень нечеткой квазисерии является обыкновенной квазисерией, т. е. удовлетворяет условиям

Поскольку обычная квазисерия определяет разбиение множества X на упорядоченные классы эквивалентности, нечеткая квазисерия определяет разбиение множества X на упорядоченные классы эквивалентности на каждом α-уровне. Эти разбиения вложены друг в друга; таким образом, нечеткая квазисерия определяет иерархию разбиений множества X на упорядоченные классы эквивалентности.

Частным случаем метрических порядков, помимо квазисерии, является линейный порядок, определяемый условием линейной транзитивности. Линейный порядок при интерпретации как силы предпочтения альтернативы x над альтернативой y задает на множестве альтернатив X некоторую аддитивную функцию полезности, которая может быть определена на X, например, с помощью соотношения

.

Ультраметрическая транзитивность построена по аналогии с метрической транзитивностью, однако для антисимметричных отношений она не эквивалентна ультраметрическому неравенству .

Между строгими порядками (асимметричными отношениями) и слабыми порядками (рефлексивными отношениями) существует тесная связь. Эти порядки могут быть получены друг из друга с помощью ряда преобразований.

Если на L задана операция дополнения, т. е. такая унарная операция , что на L выполняются тождества

то на множестве нечетких отношений может быть задана операция дополнения следующим образом:

и на множестве нечетких отношений будут выполняться тождества

Если на множестве нечетких отношений задана операция дополнения, то из отношения строгого порядка P могут быть получены:

Отношение сходства Отношение различия Отношение слабого порядка

Транзитивностью отношения P определяется тот или иной уровень транзитивности отношений S и R. В частности, если P является нечеткой квазисерией, то определяемое им отношение S является нечетким отношением эквивалентности, а отношение R будет нечетким квазипорядком.

Нечеткие отношения порядка могут быть получены многими способами и допускают различную интерпретацию. Они могут выражать либо значение какого-либо физического параметра, характеризующего интенсивность доминирования x над y, либо усредненную по множеству критериев или индивидуумов силу предпочтения между объектами. Они могут быть получены с помощью шкалы сравнений, которой эксперты измеряют интенсивность предпочтений при попарных сравнениях альтернатив, могут выражать уверенность, возможность, вероятность доминирования и т. п.

Задачи нечеткого упорядочения

Любую задачу принятия решений можно сформулировать как задачу отыскания максимального элемента в множестве альтернатив с заданным в нем отношением предпочтения. Однако во многих реальных ситуациях в множестве альтернатив можно определить лишь нечеткое отношение предпочтения, т. е. указать для каждой пары альтернатив x и y лишь степени, с которыми выполняются предпочтения и . В таких случаях задача принятия решения становится неопределенной, поскольку неясно, что такое максимальный элемент для нечеткого отношения предпочтения. Для двух типов нечетких отношений можно предложить способы упорядочения элементов конечного множества, в котором задано нечеткое отношение. Способы эти сводятся к тому, что для каждого из рассматриваемых типов нечетких отношений строится некоторая функция (напоминающая функцию полезности), и элементы множества упорядочиваются по соответствующим им значениям этой функции.

Пусть — функция принадлежности бинарного нечеткого отношения в множестве X (например, отношения нестрого предпочтения). Допустим, что рассматривается задача упорядочения элементов конечного множества . Упорядочение можно осуществлять по значениям следующей функции:

где , а функция

Для вычисления значений функции удобно пользоваться следующим равенством: