Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 90 )

Определение 13.2. Граничным слоем множества М в про­странственазовем множество всех точек этого множества, удовлетворяющих условию теоремы 13.5.

Как следует из теоремы 13.5, граничный слой содержит все базисные точки множества М. С геометрической точки зрения все точки множества находятся на «периферии» выпуклой оболочки С(М). В соответствии с идеями геометрического подхо­да, мы хотим определить ядро множества как некоторое подмножество выпуклой оболочки, находящееся в ее «середине». С этой точки зрения точки границы непригодны для построения ядра. Введем следующее определение.

Определение 13.3. Внутренностью множества М назовем множество

Очевидно, что

Обозначими определим последовательность множеств

Мk рекуррентным соотношением

(13.5)

Так как М — конечное множество, а то последовательность Мk, начиная с некоторого номера N, стабилизируется:

Это означает, что т. е.

Таким образом, нами построена последовательность вложен­ных подмножеств множества М, последнее из которых совпадает со своим граничным слоем.

Определение 13.4. Ядром К(М) конечного множества М точек пространства будем называть выпуклую оболочку последнего непустого множества в последовательности (13.5):

Описанное в этом определении множество нечетких частичных порядков в свете проблемы группового выбора представляет со­бой множество групповых решений, допустимых для выбора сре­ди них одного единственного решения.

Ход рассуждений, приведший нас к понятию ядра, подсказы­вает следующую простую процедуру его построения.

Пусть М — конечное множество точек в пространстве

Обозначим и

Для k = 1, 2, ... определим процедуру построения ядра следующим образом.

Шаг 1. Среди точек множества Mk выделим те, у которых функция принадлежности хотя бы на одной паре совпадает с или с Эти точки составляют множество Определяем

Шаг 2. Если то полагаем Если

то и переходит к шагу 1.

Как указывалось выше, эта процедура за конечное число ша­гов позволяет сформировать множество К(М).

13.5. Алгоритм «-ядро»

Задача алгоритма состоит в том, чтобы для исходного множе­ства М из N отношений предпочтения, представленных в форме нечетких частичных порядков, построить последовательность из s вложенных друг в друга выпуклых оболочек — граничных слоев Для описания блок-схемы этого алгоритма нам дополни­тельно понадобятся следующие характеристики: В — число отно­шений вт. е. во внутренности (s+1)го слоя; с — счетчик отношений, составляющихb — счетчик числа просмотренных отношений вЧерез обозначаются элементы матри­цы через— минимальное и максимальное отношение s-й оболочки соответственно.

Итак, для работы алгоритма должно быть введено множество М, число N отношений в М и число n, определяющее размерность отношений Блок-схема алгоритма «-ядро» приведена

на рис. 13.4.

Рис. 13.4.

К блокам, отмеченным на рис. 13.4 римскими цифрами, при­ведем краткие пояснения.

1. В блоке I исходное множество М отношений переносится в массив В начале работы цикла из блоков II—VIII в этом массиве, по-существу, хранится внутренность s-й оболочки ис­ходного множества М.

2. В блоке II производится настройка счетчиков: номеров вы­деляемой оболочки s, числа отношений граничного слоя и числа просмотренных отношений из внутренности s-го слоя

3. В блоке III формируются минимальное и максимальное от­ношения s-й выпуклой оболочки.

4. В блоках IV и V производится формирование s-го гранич­ного слоя Отношения, принадлежащиепереписываются в массив из массиваа в последнем стираются (блок V).

5. Если все отношения изпросмотрены (проверяется в блоке VI), а в массивперешли не все точки из т. е. если внутренность (s+1)-го слоя непуста (проверяется в блоке VII), то после очистки массива (блок VIII), производится переход к формированию следующей выпуклой оболочки.

6. Работа алгоритма заканчивается в случае, когда внутрен­ность s-го слоя состоит только из точек граничного слоя (прове­ряется в блоке VII).

14. Групповые реше­ния в пространстве нечетких частичных порядков

В предыдущем разделе на основе геометрического подхода было построено множество допустимых решений в проблеме группово­го выбора. В практических приложениях задача группового вы­бора обычно требует построения единственного группового реше­ния. Особенность исходных данных в нашей задаче — нечеткость бинарных отношений частичного порядка — предоставляет воз­можность для построения такого единственного решения. Эти воз­можности связаны с арифметической обработкой исходных дан­ных. В отличие от четкого случая арифметические операции над нечеткими отношениями снова приводят к нечетким отношениям. Примером такого рода арифметических операций могут служить операции осреднения, широко используемые при обработке дан­ных. Трудности, которые возникают при этом подходе, связаны с тем, что нечеткие отношения, получающиеся после такой обра­ботки, могут отличаться по своим свойствам от отношений, ко­торые представляли собой исходные данные. Например, получен­ное отношение может оказаться нетранзитивным, тогда как ис­ходные данные были транзитивными. При построении допустимых групповых решений такой проблемы не возникало, поскольку задача решалась на основе геометрического подхода.

В этом разделе будет предложен способ построения единствен­ного группового решения на основе операции осреднения. Так как нечеткий частичный порядок определяется двумя условия­ми — антирефлексивности и транзитивности — то возникающая здесь проблема состоит в том, чтобы построенное среднее отно­шение также обладало этими свойствами. Для решения этой про­блемы предлагается следующий подход. Сначала строится такая модель пространства изоморфная в рамках геометрического подхода самому пространству что операция осреднения, примененная к произвольной совокупности исходных дан­ных не нарушает свойства антисимметричности. Тем самым про­блема сводится к построению транзитивного группового решения. В заключительном параграфе этого раздела описывается алгоритм для построения такого решения.