Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 60 )

и отношение безразличия І с матрицей

Используя определение бинарного отношения как подмноже­ства прямого произведения, взаимосвязь введенных отношений можно сформулировать в виде следующего утверждения:

Утверждение 3.3. Множества Р, I, P-1 образуют разбиение пря­могопроизведения При этом и

Справедливость этого утверждения легко проверить для пре­дыдущего примера.

6.3.2. Пространства предпочтений и безразличия

В практических задачах, которые нам придется рассматри­вать, мы будем иметь дело не с отдельно взятыми отношениями, а с совокупностями таких отношений. Например, можно было бы рассматривать множество всех отношений предпочтения или всех отношений безразличия. Однако особенности каждой отдельной задачи обычно сужают это множество в силу того, что на отно­шения накладываются дополнительно условия, например условие транзитивности и т. п. Основным объектом наших исследова­ний будут именно подмножества множества всех бинарных отно­шений. Дадим следующее общее определение.

Определение 3.2.1. Пространством бинарных отношений с но­сителем А называется произвольное подмножество множества всех бинарных отношений на А.

Несмотря на большую общность этого определения, на осно­ве его можно получить содержательные результаты для произ­вольных пространств бинарных отношений. Здесь нас будут интересовать лишь отношения слабого и строгого предпочтений и безразличия. В соответствии с этим мы будем рассматривать лишь подмножества, состоящие целиком из эле­ментов одного класса и соответственно этому пространства будем называть пространствами предпочтения (слабого или строгого) или пространствами безразличия.

Обозначим через произвольное пространство отношений слабого предпочтения. С каждым пространством R связаны про­странство отношений строгого предпочтения Р и простран­ство отношений безразличия І. Таким образом, пространство образовано всеми отношениями Р такими, что где ,

а пространство состоит из всех І таких, что Указанные взаимосвязи между пространствами и легко

описать следующим образом. Введем отображения ото-

бражающие множество всех бинарных отношений, определенных на множестве А, в себя:

Где Сужение отображения i (которое мы будем обо-

значать той же буквой) на пространствоотображает это про­странство биективно на пространствоАналогично α и β (точ­нее их сужение на соответствующее пространство) отображают сюрьективно

Эти отображения можно представить в виде следующей диа­граммы:

Диаграмма 3.1

Мы закончим этот параграф доказательством того, что эта диаграмма коммутативна.

Утверждение 3.2. Диаграмма 3.1 коммутативна, т. е. Доказательство. Пусть Имеем

и откуда следует утверждение теоремы.

6.3.3. Диаграмма пространств предпочтений и безразличия

В практических задачах, где используются отношения пред­почтения и безразличия, обычно интересно рассматривать не произвольные подмножества таких отношений, а совокупности отношений, обладающие определенными свойствами.

Рассмотрим сначала конкретные пространства слабых пред­почтений.

— пространство всех отношений слабого предпочтения.

— пространство всех квазитранзитивных отношений, т. е. пространство всех слабых предпочтений, удовлетворяющих условию квазитранзитивности: для любого отношение

транзитивно.

Пример 3.1. Примером отношения из пространстваможет слу-

жить отношение R, заданное матрицей

Легко проверить, что это отношение нетранзитивно (так как а отношение имеет матрицу

и транзитивно.

— пространство линейных квазипорядков. Получается из требованием транзитивности отношения R.

Пример 3.2. Примером отношения изможет служить транзитив­ное отношение, заданное матрицей

— пространство совершенных порядков. Получается из требованием антисимметричности отношений R.

Пример 3.3. Примером отношения изможет служить антисим-

метричное отношение, заданное матрицей

Связь между введенными пространствами слабого предпочте­ния можно изобразить в виде диаграммы 3.2, где стрелки указы­вают отображение вложения φ пространств: каждое предыдущее пространство есть подмножество последующего.

Диаграмма 3.2

Пример 3.4. Теперь приведем пример отношения из пространства которое не принадлежит ни одному из вложенных в него пространств (см. диаграмму 3.2);

Это отношение не принадлежит пространству так как отношение

имеющее матрицу

нетранзитивно.

Теперь рассмотрим пространства строгого предпочтения, соот­ветствующие, согласно диаграмме 3.1, указанным пространствам слабого предпочтения.

— пространство всех отношений строгого предпочтения.

— пространство всех отношений строгого частичного по-рядка, т. е. транзитивных отношений строгого предпочтения.

Пример 3.5. Пустьесть отношение из примера 3.1. Тогда

отношениепринадлежит пространствуи имеет матрицу

Очевидно, что Р есть частичный порядок.

— пространство всех квазисерий, т. е. строгих частичных порядков Р таких, что — эквивалентность.

Пример 3.6. Пусть есть отношение из примера 3.2. Тогда