Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 3 )

Пример 1. Пусть

Х = {х1, х2, х3},

Y = {yl, у2, у3, у4, у5},

М = [0, 1].

Таблица на рис. 1 изображает нечеткое 2-арное отношение (которое можно называть бинарным, если не возникает путаница с другими возможными интерпретациями слова «бинарный»).

Рис. 1.

Пример 2. Пусть

X = Y = R,

где R = (— ∞, ∞), т. е. R — множество всех действительных чисел. Тогда отношение ух, где х R, у R, есть нечеткое отношение в R2. Например, субъективное выражение (зависящее от субъективного оценивания) отношение ух можно задать так:

Обозначение. Нечеткое отношение в X×Y запишется как

х X, у Y2:х у.

Символы для обозначения экстремума. Дальше будем использовать символы:

— для обозначения максимума относительно элемента или переменной х,

— для обозначения минимума относительно элемента или переменной х.

Так, запись

μ1(х)= μ(х, у)

эквивалентна

μ1(х)= μ(х, у)

Аналогично запись

μ2(х)= μ(х, у)

эквивалентна

μ2(х)= μ(х, у).

Проекция нечеткого отношения. Первую проекцию определяет функция принадлежности

(х)= (х, у).

Аналогично вторую проекцию определяет функция принадлежности

(у)= (х, у).

Вторая проекция первой проекции (или наоборот) будет называться глобальной проекцией нечеткого отношения и обозначаться h(). Таким образом,

h( ) = (х, у)= (х, у).

Если h()=1, то говорят, что отношение нормально. Если h()<1, то отношение субнормально.

Пример 1. (рис. 2).

Рис. 2.

Вычислим первую проекцию

(х)= (х, у).

(х1)= (х1,у)= МАХ [0,1; 0,2; 0,3]=1

(х2)= (х2,у) = МАХ [0,6; 0,8; 0; 0,1] = 0,8,

……………………………………………………………......

(х6)= (х6,у)= MAX [0,9; 0; 0,3; 0,7] = 0,9.

Аналогично можно вычислить и вторую проекцию. Результаты расчетов приведены на рис. 2. Мы видим, что отношение нормально.

Пример 2. Рассмотрим отношение ху, где х R+, у R+ и

(х, у) =е , k>1

(рис. 3), которое можно интерпретировать такой нечеткой фразой: х и у — очень близкие друг к другу числа (для достаточно больших значений k).

Рис. 3

В этом случае мы видим, что для фиксированного значения х0

(х0)= (х0,у)= е = е =l для у=х0.

Поскольку значение (у0) также равно единице, то h() = 1.

Носитель нечеткого отношения. Носителем нечеткого отношения называется обычное множество упорядоченных пар (х, у), для которых функция принадлежности положительна:

S( ) = {(х, у)| {х, у)>0}. (3)

Пример 1 (рис. 4).

S( ) = {( xl, у1), (xl, у3), (х2, у1), (х2, y4), (х3, у1),(х3, у2), (х3, у3), (x3, y4)}.

Рис. 4.

Пример 2 (рис. 5). Рассмотрим отношение ху, где х R+, у R+ и

Рис. 5.

Тогда имеем

S ( ) = {(х, у)|0 ≤ | у- х |≤ 0,46}

Нечеткое отношение, содержащее или содержащееся в данном нечетком отношении. Пусть и — два нечетких отношения, такие, что

(x, у) X×Y : (х, у) ≤ (х, у);