Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 44 )

Утверждение 4. Если А — минимально, С — некоторое нечет­кое подмножество пространства X и то

Доказательство аналогично доказательству утверждения 1.

Понятие минимального решения было введено в утверждение 3. Минимальное решение строится с помощью конечного двудоль­ного графа. Это позволяет прийти к выводу, что за конечное чис­ло шагов можно найти все минимальные контакты в G(Z), сог­ласованные с порядком в Y. Поэтому с помощью алгоритма 1 можно построить все минимальные нечеткие подмножества X. Обозначим их А1, ..., Аp.

Определение 4. Пусть дано конечное нечеткое отношение R и выходное нечеткое подмножество В, содержащееся в Y. Тогда мак­симальный куб A i нечетких подмножеств X определяется следую­щимобразом: Ai={C — нечеткое подмножество

Теорема 2. Пусть— максимальные кубы для данных R и В. Тогда

Доказательство. Включение понимаемое в смысле опреде­ления 4, очевидно в силу утверждения 4. Рассмотрим обратное включение. Предположим, чтотогда в силу того, что имеет место включение графа G(A) в граф (в смысле включения множества ребер). По­скольку для каждого yi справедливо равенство

то М(А) порождает контакт Сy(А) в G(Z), согласо­ванный с порядком. Этот контакт или минимален, т. е. А = Аi для некоторого i, или содержит некоторый минимальный контакт, т. е. AA i для некоторого i. Это означает, что в обоих случаях А принадлежит, по крайней мере, одному максимальному кубу, что и завершает доказательство.

Эту теорему можно рассматривать как необходимое и доста­точное условие того, что данное нечеткое входное множество А будет решением уравнения Не удивительно, что семейство A — неупорядоченное множество. Это связано со структу­рой входной области. Поскольку множество A есть объединение кубов A i, то определенный интерес представляют семейства это­го множества Некоторые вводные положения, связанные с этой темой, приведены в следующем разделе.

3.2.3. Некоторые свойства прос­транства решений

Определим операцию, которая для заданногопорождает куб:

— нечеткое подмножество множества (5)

Эту операцию можно обобщить на случай любого семейства прос­транства решений A. А именно, если то

(6)

Легко видеть, что формула (б) определяет операцию замыкания. Известно, что если определена операция замыкания, то се­мейство всех замкнутых подмножеств данного пространства образует решетку относительно операций + и , определенных следующим образом:

(7)

С учетом определения, записанного в виде условия (5), становит­ся очевидно, что т. е. сумма замкнутых подмножеств замкнута. В силу этого свойства кажется естественным сформу­лировать следующее утверждение.

Утверждение 5. Семействозамкнутых подмножеств прост­ранства A с определенной на нем согласно (7) операцией обра­зует дистрибутивную решетку, т. е.

Следствие 1. Решетка , образованная замкнутыми подмно-жестрапространства A — модулярная, т. е.

Выписанное только что равенство справедливо, поскольку лю­бая дистрибутивная решетка модулярна.

Следствие 2. Пусть тогда но не обязательно Действительно, Далее, поскольку существует только один замкнутый относительно са­мого себя элемент пространства A, а именно: то, если С и D не совпадают с этой максимальной точкой, они не замк­нутые. Кроме того,только в тривиальном слу­чае при C = D. Можно доказать, что существуют решения, точнее, минимальные решения, пересечение которых — операция взятия минимума для функции принадлежности) уже не будет решением. Это следует с очевидностью из понятия минимального контакта и алгоритма 1.

Обатим нимание на практическое зна­чение изложенной теории. На практике оператор нечеткого пре­образования R, образованный импликацией отношений AіBі аппроксимирует некоторую реальную зависимость вход-выход. Во многих случаях эта зависимость достаточно строго может быть выявлена в виде вербального описания. Допустим, что единствен­но доступная информация о реальном процессе — это такое линг­вистическое описание. С помощью теории нечетких множеств его можно представить системой (1). Однако теперь возникает воп­рос: насколько точно формальная система отражает опыт челове­ка. В основу анализа можно положить различные определения уровней точности. Интересующий нас смысл, вкладываемый в по­нятие точности, раскрывается экспертом в диалоговом режиме соз­дания нечеткой системы. На основе теории нечетких множеств разработчик строит нечеткую систему в виде нечеткого отноше­ния, полученного с помощью атомарных импликаций, построен­ных по экспертной информации. На этом этапе из-за языковой неопределенности могут возникнуть серьезные затруднения. Пред­положим, что эксперт описал систему, состоящую из N атомар­ных импликаций На основе изложенной теории разра­ботчик системы может построить семейства как множе­ство решений для В1,..., BN соответственно. Если эксперт согласен, что все члены семейства огут быть приняты в качестве вход­ных для соответствующего то все в порядке. Однако может оказаться, что некоторые множества слишком широки. Это означает, что либо при определении структуры, либо в реализации системы допущены ошибки. И их нужно устранить, чтобы достичь необходимой с эвристической точки зрения согласованности меж­ду экспертом и разработчиком системы. Иначе проблема решения системы (1) может считаться неадекватной реальности.

4. Эталонный подход к получению нечеткого отношения предпочтения

Нечеткие отношения индивидуального предпочтения JR на X предлагается получать с использованием множества «эталонных» объектов У и заданного на У отношения S. Вводится закон «взаимо­действия» \F между X и Y или закон «согласования» S я R. Ис­следуются его свойства для некоторого типа отношений. Рассмат­ривается проблема выбора на основе отношения R, а также проб­лемы организации таких экспертиз и практического применения эталонного подхода. Приводятся примеры. В заключение обсуж­дается роль эталонных объектов при экспертизе.