Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 15 )

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим пример (37)—(39) и формулу (40): нечеткое подмножество

и отношение

дают нечеткое подмножество

Тогда как и

дали бы

(таким образом, здесь ситуация та же, что и при матричном исчислении в линейном векторном пространстве, где [М]{х}=у и [М]'{у}≠{х}. Если матрица [М] квадратная и невырожденная, то [М] имеет обратную матрицу [М]-1, такую, что [М]∙ [М]-1= [1] и [М]∙{х}={у} и {х} = [М]-1∙ {у}, где {х} и {у} - векторы-столбцы).

Нечеткие подмножества, последовательно обусловливающие друг друга.

Если индуцирует с помощью , индуцирует с помощью , ... и индуцирует с помощью , то индуцирует с помощью °°... ° .

Пример.

X = {x1, x2},

= {( x1|0,8), (x2|0,3),

Y = { y1, y2, y3},

,

Z = {z1; z2, z3},

Ближайшие обычные подмножества, обусловливающие друг друга.

Легко показать (достаточно сослаться на выражение = = ), что

~ ~ .

Пример.

Это свойство остается справедливым, какой бы ни была природа универсальных множеств Х и Y, где xi X и yi Y , и не зависит от того, конечны или нет множества Х и Y.

2. Свойства нечетких отношений

2.1. Свойства нечетких бинарных отношений

Различные типы нечетких отношений определяются с помощью свойств, аналогичных свойствам обычных отношений, причем для нечетких отношений можно указать различные способы обобщения этих свойств. В качестве основных свойств здесь будут рассматриваться свойства, имеющие такую же алгебраическую запись, что и для обычных отношений. Справа от алгебраической записи указывается ее поточечная формулировка. Для ряда свойств их алгебраическая запись отсутствует.

Рассмотрим случай, когда

X= Y = Р

М = [0, 1],

и займемся исследованием некоторых свойств нечетких бинарных отношений в Р × Р.

Пример 1. Пусть

Р = {А, B, C, D, Е},

М = [0, 1].

Таблица или матрица на рис. 33 представляет нечеткое отношение в Р × Р.

Рис. 33.

Пример 2. Пусть R — множество вещественных чисел и х R, у R, тогда

|у | » | х | (42)

есть нечеткое бинарное отношение , которое задано в R×R, с функцией принадлежности (x, у), которая определяется (42) для всех (х, у).

Перейдем к изучению основных свойств нечетких отношений. При представлении функции принадлежности, которая определяет нечеткое отношение, мы не будем различать обозначения (х, у) или

(x, у), поскольку нечеткое отношение можно рассматривать как нечеткий граф.

Симметрия. Нечеткое бинарное отношение называется симметричным, если выполняется условие

(х, у) Р × Р: ( (х, у) = ) ( (у, х) =

Пример 3. (См. рис. 34).

Рис. 34.

Пример 4. Пусть R — множество вещественных чисел и х R, у R. Тогда отношение «у близкое к х» интуитивно воспринимается как нечеткое симметричное отношение в R×R.

Общее обозначение симметричности выглядит так:

= , (x, y) = (y, x) х, у X .

Антисимметричность:

, (x, y) (y, x)=0 х, у X , х≠ у.

Асимметричность:

= , (x, y) (y, x)=0 х, у X.