Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 39 )

Таким образом показано, что точно так же, как характеристи­ческая функция χа объективного свойства, функция принадлеж­ности субъективною свойства определена порядковой шкалой.

До сих пор по отношениюсмоделированы только топологические свойства Θ. Чтобы вместо порядковой шкалы для постро­ить более сильную шкалу, воспользуемся тем, что переход от дву­значной принадлежности к многозначной позволяет перейти от всего лишь топологических свойств Θ, определенных отношением к алгебраическим свойствам.

Для установления в Θ слабого интервального порядка потре­буем, чтобы в общем случае субъект мог сравнить любую па­ру интервалов, определенных набором из четырех точек в Θ. На­пример, пусть субъект установил, что объект θ2 обладает свой­ствомпо крайней мере в той же степени, что и θ1 (т. е. θ2 име­ет по крайней мере ту же степень принадлежности множеству что и θ1), и что θ4 обладает свойством по крайней мере в той же степени, что и θ3 (т. е. θ4 имеет по крайней мере ту же степень принадлежности множеству что и θ3). Далее, пусть он устано­вил, что приращение свойства от θ1 до θ2 по крайней мере так же велико, как от θ3 до θ4 (другими словами, приращение принад­лежности множеству от θ1 до θ2 по крайней мере также велико, как от θ3 до θ4 (другими словами, приращение принад­лежности множеству от θ1 до θ2 по крайней мере также велико, как приращение от θ3 до θ4, или, что эквивалентно, принадлеж­ность θ2 превосходит принадлежность θ1 по крайней мере на столь­ко, на сколько θ4 превосходит θ3). В последнем предложении срав­ниваются не точки в Θ, а интервалы в Θ, и утверждение можно переписать в виде

(4)

В отличие от двух предшествующих сравнений это не топологиче­ское, а алгебраическое утверждение об отношении и этот факт позволяет перейти от порядковой шкалы принадлеж­ности к более сильной шкале. Уравнение (4) формулирует утвер­ждение о бинарных отношениях в (т. е. во множестве ин­тервалов в Θ), которое в числовом представлении системы может быть выражено в виде утверждения

(5)

Определение. Ограниченная структура многозначной принадлеж­ности для которой интервалы могут быть сла­бо упорядочены по отношениюпри любых называ­ется разностно-сравнимой и обозначается

Разностно-сравнимая ограниченная структура многозначной принадлежности образует «алгебраическую разностную структу­ру», если удовлетворяются следующие пять аксиом:

А1 — аксиома слабой упорядоченности: структура определяет слабый оторядок;

А2 — аксиома перемены знака: если то

A3 — аксиома слабой монотонности: если и

то

А4 — условие разрешимости: если то

существуют такие, что

А5 — архимедово условие: если— строго ограничен-

ная стандартная последовательность (т. е. для любых в

последовательности; не верно, что существуют такие, что для любых аі в последовательности), то последовательность конечна.

Аксиома А2 говорит, что если изменение свойства при пере­ходе от по крайней мерей такое же (т. е. столь же поло­жительное), как при переходе от то изменение свойства в противоположном направлении от не больше (т. е. не более положительное), чем при переходе от Другими словами, если приращение свойства при переходе от по крайней мере такое же, как при переходе от то соотношение уменьшений свойства при переходе в обратном направле­нии должно оставаться тем же.

Аксиома A3 говорит, что если приращение свойства при пе­реходе от по крайней мере такое же, как при переходе от и приращение от по крайней мере такое же, как при переходе от то приращение от по крайней мере, такое же, как приращение от

Аксиомы А2 и A3 интуитивно кажутся достаточно разумными и можно ожидать, что им удовлетворят данные, полученные от любого наблюдателя.

Аксиомы А4 и А5 больше относятся к свойствам самого мно­жества Θ, чем к способности субъекта произвести оценки по от­ношению

Аксиома А4 просто устанавливает, что область исследований Θ достаточно плотная, чтобы можно было «скопировать» любой интервал в пределах интервала, не меньшегои относительно любого из концов θ1 или θ2. Если точка θ1 — концевая, то субъект выбирает точку так, чтобы прирост свойства от θ1 к равнялся приросту от. Если точка θ2 концевая, то субъект выбирает точку так, чтобы прирост свойстваот равнялся приросту от .

В формулировке аксиомы А5 первые два условия в скобках определяют стандартную последовательность, а добавление третье­го условия в скобках приводит к определению строго ограничен­ной последовательности «копий» интервала внутри большего интервала . Аксиома А5 просто устанавливает, что эта последовательность должна быть конечной, т. е интервал не может быть бесконечно большим относительно любого меньшего интервала длина которого не равна нулю Это оз­начает, что прирост свойства при переходе от любой точки к любой другой точке может быть превышен за конечное чис­ло последовательных приращений размером