Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 2 )

11.2. Нечеткие соответствия. Понятие нечеткого бинарного

отношения.................................................................................................339

11.3. Действия над нечеткими бинарными отношениями....................341 11.4. Типы нечетких бинарных отношений...........................................344 11.5. Структура нечетких отношений эквивалентности.......................346

11.6. Нечеткие предпочтения...................................................................351

11.7. Соотношения между свойствами транзитивности.......................353

11.8. Нечеткие квазипорядки...................................................................357

12. Пространства нечетких бинарных отношений................................361

12.1. Структуры пространств нечетких бинарных отношений............361

12.2. Выпуклые множества и выпуклые оболочки................................367

13. Пространство нечетких частич­ных порядков..................................372

13.1. Полнота пространства....................................................373

13.2. Метрика в пространстве..................................................375

13.3. Базис выпуклого множества...........................................................378

13.4. Ядро выпуклой оболочки................................................................381

13.5. Алгоритм «-ядро»........................................................................383

14. Групповые реше­ния в пространстве нечетких частичных

порядков....................................................................................................385

14.1. Модель пространства .....................................................................................386

14.2. Построение единственного группового решения.........................392 14.3. Проекции нечетких отношений......................................................394

14.4. Классы нечетких отношений..........................................................395 14.5. Разложение на максимальные подотношения подобия...............408

14.6. Индивидуальные тестовые задачи.................................................420

Приложение.......................................... ...................................................424

Указатель обозначений………………………………………………....452

Список литературы…………………………………………………...453

 

1. Введение в нечеткие отношения

1.1. Определения и операции над нечеткими отношениями

Нечеткие отношения играют фундаментальную роль в теории нечетких (размытых) систем. Аппарат теории нечетких отношений используется при построении теории нечетких автоматов, при моделировании структуры сложных систем, при анализе процессов принятия решений, в задачах управления технологическими процессами и т. д.

Теория нечетких отношений находит также применение в задачах, в которых традиционно применяется теория обычных (неразмытых, четких) отношений. Как правило, аппарат теории четких отношений используется при качественном анализе взаимосвязей между объектами исследуемой системы, когда взаимосвязи носят дихотомический характер и могут быть проинтерпретированы в терминах «связь присутствует», «связь отсутствует», либо когда методы количественного анализа взаимосвязей по каким-либо причинам не могут быть применены, и взаимосвязи искусственно приводятся к дихотомическому виду. Например, когда величина связи между объектами принимает значения из ранговой шкалы, выбор порога на силу связи позволяет преобразовать связь к требуемому виду. Однако подобный подход, проводить качественный анализ систем, приводит к потере информации о силе связей между объектами, либо требует проведения вычислений при разных порогах на силу связей. Этого недостатка, как нам кажется, лишены методы анализа данных, которые основаны на теории нечетких отношений, позволяющие проводить качественный анализ систем с учетом различия в силе связей между объектами системы.

Обычное четкое п-арное отношение определяется как подмножество декартового произведения п множеств

X1 × Х2 × ... ×Хп.

(Это определение совпадает с формальным определением абстрактоной системы).

Подобно нечеткому множеству, нечеткое отношение можно задать с помощью его функции принадлежности

: X1 × Х2 × ... ×Хп →L,

где L — это отрезок [0, 1] вещественной прямой. Однако в теории нечетких отношений часто оказывается удобным в качестве L брать какую-либо более общую структуру, чем отрезок [0, 1], а под нечетким отношением понимать саму функцию

: X1 × Х2 × ... ×Хп →L,

которая отображает декартово произведение множеств Х1, ..., Хп в L. В качестве L может быть взято, например, множество вещественных чисел, множество лингвистических переменных, множество m-мерных векторов, цепь, псевдобулева алгебра, полные дистрибутивные решетки и т. п. Такой подход к определению понятия нечеткое отношение дает возможность, во-первых, строить интересные обобщения понятия отношения, которые могут использоваться, например, в теории моделей. Во-вторых, он позволяет в результате интерпретации различных функций со значениями из L как нечеткое отношение, применять для анализа свойств этих функций хорошо развитый аппарат теории отношений. В-третьих, этот подход дает возможность связать и рассматривать с единой точки зрения многие понятия и методы, которые применяются при анализе эмпирических данных, в частности, в кластерном анализе. Мы ограничимся рассмотрением лишь бинарных нечетких отношений.

Нечетким отношением между множествами X и Y будет называться функция

: X×Y →L, (1)

где в общем случае будет предполагаться, что L — это полная дистрибутивная решетка. Таким образом, L — это частично упорядоченное множество, в котором любое непустое подмножество имеет наибольшую нижнюю и наименьшую верхнюю грани, и операции пересечения и объединение в L удовлетворяют законам дистрибутивности. Пример. Пусть X=x1, x2 и Y=y1, y2, y3, тогда нечеткий граф, изображенный на рисунке задает некоторое нечеткое отношение RX×Y.

Все операции над нечетким отношением определяются с помощью этих операций из L. Например, если в качестве L взять ограниченное множество вещественных чисел, то операциями взятия наибольшей нижней и наименьшей верхней грани в L будут, соответственно, операции inf и sup, операциями пересечения и объединения будут операции min и max, и эти операции будут определять и операции над нечетким отношением. Введение в L дополнительных операций, например, операций сложения и умножения, позволяет ввести и соответствующие дополнительные операции над нечетким отношением. В том случае, когда L является отрезком вещественной прямой [0, 1], функция (1) будет записываться также в виде функции принадлежности

: X ×Y →[0, 1], (2)

и во всех соотношениях, используемых ниже, наравне с записью (x, у) будет применяться запись (х, у). Если множества X и Y конечны, нечеткое отношение между X и Y можно представить с помощью его матрицы отношения, строкам и столбцам которой ставяться в соответствие элементы множеств X и Y, а на пересечении строки х и столбца у помещается элемент (x, у) (см. табл. 1).

Таблица 1

В случае, когда множества X и Y совпадают, нечеткое отношение

: X×X→L называется нечетким отношением на множестве Х.

Пусть Р — прямое произведение п множеств и М — его множество принадлежностей; нечеткое п-арное отношения определяется как нечеткое подмножество , которое принимает свои значения в М.