Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 28 )

=

В (93)— (96) мы уже показали, что если (max — min) - транзитивно, то (min — max)-транзитивно.

Покажем теперь, что

= * (106)

max-min min-max

Для проверки этого поступим так же, как в (93)— (96):

(х, z) = [ (х, у) (у, z)],

(х, z) = 1- (х, z)=1- [ (х, у) (у, z)]=

= (х, у) (у, z) = (х, z)

Это доказывает (106).

Теперь запишем

= = =

= ...= далее, используя теорему Де Моргана, получаем = ...= и, наконец, согласно (106) = .

Пример 7. Возьмем опять отношение сходства, которое представлено на рис. 70, для которого соответствующее отношение подобия представлено на рис. 71, а матрица расстояний — на рис. 72. Мы встретимся с этими отношениями еще раз при расчетах, которыми заканчивается нахождение на рис. 79, г-з.

Рис. 79.

Теорему 2 можно распространить на случай любого отношения, не подчеркивая, что это отношение сходства. Таким образом, можно сформулировать более общую теорему.

Теорема 3. Пусть есть (max — min)-транзитивное замыкание некоторого нечеткого отношения E×Е и — (min — max)-транзитивное замыкание . Тогда =

2.11. Гносеологические аспекты нечетких отношений сходства

В современной математике особое внимание уделяется разработке методов, позволяющих наиболее адекватно отображать динамические процессы, происходящие в условиях неопределенности. Наиболее точными в условиях нестохастической неопределенности оказываются модели и методы, принадлежащие теории нечетких множеств, предложенной в 1965 г. известнейшим американским математиком, профессором Калифорнийского университета .

Вместе с тем достаточно строгий математический аппарат, которым располагает теория нечетких множеств, позволяет весьма точно моделировать не только поведение технических систем, но и мыслительные акты, происходящие в процессе познавательной деятельности человека, центральное место в которой занимает абстрагирование. В предлагаемом читателю кратком исследовании рассматриваются некоторые гносеологические аспекты нечетких отношений сходства, которые успешно используются при решении некоторых задач нечеткой классификации и имеют все шансы найти достойное применение в логико-математической теории определений через абстракцию.

В этой теории существенную роль играет теорема о разбиении некоторой предметной области X отношением типа равенства R, определенном на данной области, на подмножества, не имеющие общих элементов. Данные подмножества именуются классами эквивалентности, а отношение R, определяемое аксиоматически как симметричное, транзитивное и рефлексивное отношение в X, устанавливает связь между различными элементами универсального множества X. Так, если A и B — это различные классы эквивалентности и , то выражение xRy интерпретируется как «объект x равен объекту y». Если же , то подобная трактовка вышеприведенного выражения, с логической точки зрения, будет представлять собой ложное высказывание.

Однако логико-математическая теория образования и определения понятий, в основе которой лежит теорема о разбиении предметной области X отношением R, может применяться лишь к абстрактным математическим объектам, поскольку при использовании данного аппарата за пределами математики приходится вводить достаточно жесткие идеализирующие допущения; если данные допущения не принимать во внимание, то в ряде случаев некоторые условия, определяющие отношение R, в частности, условие транзитивности, оказываются невыполненными. Выходом из сложившейся ситуации, позволяющим в значительной степени ослабить, а зачастую и совсем устранить идеализирующие допущения и применить теорию определений через абстракцию к объектам реального мира, может оказаться применение в рамках данной теории аппарата нечетких отношений.

В качестве предварительного замечания следует отметить, что теория нечетких множеств, вводя понятие взвешенной принадлежности для объектов , не только позволяет достаточно полно описывать субъективность индивида в процессе его познавательной деятельности, но и весьма эффективно моделировать нечеткие понятия. Следует также указать, что, как аппарат для решения задач классификации объектов, теория нечетких множеств является более эффективной, чем традиционные статистические методы, поскольку, как отмечал основатель теории Заде, «большинство реальных классов размыты по своей природе».

Нечеткое отношение эквивалентности, или, как его еще называют, отношение подобия S на множестве Х (от англ. similarity — подобие, сходство) математически определяется как функция , именуемая функцией принадлежности нечеткого отношения S, которая принимает значения на отрезке [0,1] и удовлетворяет следующим свойствам:

1.  симметричности:

(1)

2.  рефлексивности:

(2)

3.  транзитивности:

(3)

где символы и обозначают, соответственно, операции взятия максимального и минимального значений, а выражение — декартово произведение предметного множества на само себя.

Таким образом, выражение или, используя алгебраическую форму записи, может трактоваться следующим образом: «объект x, принадлежащий множеству X, подобен объекту y, принадлежащему множеству X, со степенью 0.7». Значение 0 в правой части равенства означает полное различие объектов x и y, а значение 1, соответственно, — полную идентичность рассматриваемых объектов. Следует указать, что множество X представляет собой обычное четкое множество объектов в его классическом понимании. Условие симметричности (1) отношения S трактуется как «объект x подобен объекту y в той же степени, в которой объект y подобен объекту x», а условие рефлексивности (2) отношения S трактуется как «объект x тождественен сам себе». Условие транзитивности (3) отношения S профессор Заде называл свойством размытой транзитивности и трактовал следующим образом: «Сходство x и z имеет по крайней мере ту же величину, что и сходство x и y или сходство y и z».