Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 102 )

Пример вычисления степени принадлежности скалярной функции

Таким образом, при наличии нескольких значений прообраза (для одного и того же значения образа) необходимо использовать максимальное значение степени принадлежности.

2.7. Вычисление степени принадлежности функции двух нечетких переменных

Функция двух и большего числа переменных получается путем обобщения понятия функции одной переменной посредством замены области определения одного обобщенного аргумента на декартово произведение областей определения каждого исходного аргумента.

При декартовом перемножении нечетких множеств степень принадлежности кортежа вычисляется путем нахождения минимума степеней принадлежности значений каждого атрибута.

Простейшим примерами и частными случаями функций двух переменных являются операции (сложение, умножение, ...).

Пример. Сложение двух нечетких чисел.

Пример. Упрощенная задача поиска неисправностей в автомобиле

Нечеткое отношение (опыт механика)

Описание проблем клиента

Решение нечетких уравнений

2.8. Описание нечетких чисел и интервалов с помощью коэффициентов нечеткости

Понятие коэффициентов нечеткости. Коэффициенты нечеткости являются средством описания нечетких чисел и интервалов. Они характеризуют степень размытости границ соответствующих нечетких множеств. Для задания любого нечеткого множества необходимо иметь описания:

1. Области определения (основы),
2. Ядра (m=1),
3. Границ (m<1)
Для нечетких чисел и интервалов основа является числовым множеством.
Ядро нечеткого интервала является четким интервалом [a, b].

Пример нечеткого трапециевидного интервала.

Пример нечеткого треугольного числа

Это частный случай нечеткого интервала при a=b
Поэтому описание нечеткого числа состоит из трех чисел: (a, a,c, d) = (a, c,d )

2.9. Представление термов лингвистических переменных

Операции над нечеткими интервалами [x, y, a, b]:

Примеры операций над нечеткими интервалами :

Представление термов лингвистических переменных в виде нечетких интервалов и чисел

2.10. Основные понятия нечеткой логики

Элементарные нечеткие высказывания аналогичны четким логическим высказываниям, но отличаются от них тем, что судить об их истинности или ложности можно только с некоторой степенью уверенности.
Таким образом, вместо 2-х значений истинности ("истина", "ложь") используется целый интервал значений [0, ... , 1].
Сложные нечеткие высказывания получаются в результате использования логических операций (конъюнкции - "И", дизъюнкции -"ИЛИ", отрицания - "НЕ"), которые сводятся к формулам преобразования степеней истинности, аналогичным преобразованиям степеней принадлежности для, соответственно, пересечения, объединения, дополнения нечетких множеств.

2.11. Основные этапы нечеткого вывода

Элементарные нечеткие высказывания аналогичны четким логическим высказываниям, но отличаются от них тем, что судить об их истинности или ложности можно только с некоторой степенью уверенности.

1. Формирование базы правил
2. Фаззификация входных переменных
3. Агрегирование подусловий
4. Активизация подзаключений, их аккумулирование
5. Дефаззификация выходных переменных

Пример. Упрощенная задача поиска неисправностей в автомобиле

1. База правил формируется на основе опыта механика и представляется нечетким отношением
2. Результаты фаззификации проблем представлялись нечетким множеством
3. Агрегирование подусловий
4. Активизация подзаключений, их аккумулирование
5. Дефаззификация выходных переменных

Этап 3 сводится в данном случае к составлению системы уравнений x *R = y по столбцам матрицы принадлежностей нечеткого отношения R:
Этап 4 сводится к преобразованию и решению
полученной системы уравнений:

max{x1,min[0.8,x2],min[0.7,x3],x4}=0.9max{x1,x4}=0.9
Этап 5 сводится к выбору результата, который с большой долей уверенности указывает на неисправность аккумулятора.

Типовая структура системы нечеткого логического вывода

Пример применения процедуры нечеткого вывода при однокритериальном управлении смесителем воды

Варианты:
Сильно увеличить подачу горячей воды
Немного увеличить подачу горячей воды
Не изменять подачу горячей воды
Немного уменьшить подачу горячей воды
Сильно уменьшить подачу горячей воды

Критерий: температура воды на выходе смесителя.

База нечетких лингвистических правил:
ПРАВИЛО_1: ЕСЛИ "вода горячая " ТО "сильно уменьшить подачу горячей воды "
ПРАВИЛО_2: ЕСЛИ "вода не очень горячая" ТО "немного уменьшить подачу горячей воды"
ПРАВИЛО_3: ЕСЛИ "вода теплая" ТО "не изменять подачу горячей воды "
ПРАВИЛО_4: ЕСЛИ "вода прохладная" ТО "немного увеличить подачу горячей воды"
ПРАВИЛО_5: ЕСЛИ "вода холодная" ТО "сильно увеличить подачу горячей воды"

Термы и функции принадлежности первой лингвистической переменной (критерия):

Термы и функции принадлежности второй лингвистической переменной (вариантов):

Фаззификации первой лингвистической переменной (критерия)

Пусть текущая температура составляет 55°С
Тогда результат фаззификации первой лингвистической переменной (критерия) представляется следующей таблицей принадлежности:

Этап агрегирования подусловий не изменяет этой таблицы, так как подусловия отсутствуют.

Активизация правил 2 и 3

2.Немного уменьшить подачу горячей воды = 0.5
3.Не изменять подачу горячей воды = 0.5

Аккумулирование заключений нечетких правил можно выполнить путем вычисления полусуммы соответствующих нечетких величин.
В результате получим нечеткую величину "угол поворота вентиля крана"=(13.5, 13.5, 22.5, 22,5)
Дефаззификация величины (13.5, 13.5, 22.5, 22.5) дает приблизительный результат: угол поворота вентиля крана = 13.5°.

Использование нечетких бинарных отношений при решении задачи о назначениях (распределение персонала)

Задача о назначениях известна достаточно давно, основные алгоритмы ее решения уже описаны на Хабарахабре (см. например Задача о назначениях). Тем не менее задача до сих пор актуальна при распределении сотрудников по должностям, в случае когда сотрудников и должностей и критериев очень много, обычные методы окажутся очень трудоемкими
для лица, принимающего решение (ЛПР). Более того, на данный момент для решения такой задачи возможно использование генетического алгоритма и его модификации (интерактивный генетический алгоритм). То есть возникает достаточно сложная многокритериальная задача поиска оптимальной альтернативы, которю можно разбить на две задачи. Если вакансия одна, а претендентов много, то для ЛПР для выбора эффективным будет использование метода многокритериальный выбора альтернатив с использованием правил нечеткого вывода (Многокритериальный выбор альтернатив с использованием правил нечеткого вывода.).

В данной статье предпринимается попытка решить задачу о назначениях в случае нескольких должностей и нескольких вакансий с помощью методов нечеткой логики, а именно с помощью использования нечетких бинарных отношений.

Итак, что же такое нечеткое отношение?

В общем случае нечетким отношением или, более точно, нечетким k-арным отношением, заданным на множествах (универсумах) Х1, Х2,…, Хk, называется некоторое фиксированное нечеткое подмножество декартова произведения этих универсумов. Другими словами, если обозначить произвольное нечеткое отношение через Q, то по определению Q={<х1, x2,. .., xk>, µQ(<х1, x2,. .., xk>)}, где µQ(<х1, x2,. .., xk>) – функция принадлежности данного нечеткого отношения, которая определяется как отображение µQ: Х1×Х2×…×Хk →[0, 1]. Здесь через <х1, x2,. .., xk> обозначен кортеж из k элементов, каждый из которых выбирается из своего универсума: х1 ϵ Х1, х2 ϵ Х2,…, хk ϵ Хk.

Бинарное нечеткое отношение. В общем случае бинарное нечеткое отношение задается на базисных множествах Х1, Х2 и определяется как нечеткое отношение Q={<хi, xj>, µQ(<хi, xj>)}. Здесь µQ(<хi, xj>) – функция принадлежности бинарного нечеткого отношения, которая определяется как отображение µQ: Х1×Х2 →[0, 1], а через <хi, xj> обозначен кортеж из двух элементов, при этом х1 ϵ Х1, х2 ϵ Х2.

Кроме того, для построения решения задачи нам потребуются композиции нечетких бинарных отношений:
Композиция двух бинарных нечетких отношений. Пусть Q и R – конечные или бесконечные бинарные нечеткие отношения. Причем нечеткое отношение Q={<хi, xj>, µQ(<хi, xj>)} задано на декартовом произведении универсумов Х1×Х2, а нечеткое отношение R={<хj, xk>, µR(<хj, xk>)} – на декартовом произведении универсумов Х2×Х3. Нечеткое бинарное отношение, заданное на декартовом произведении Х1×Х3 и обозначаемое через Q x R, называется композицией бинарных нечетких отношений Q и R, а его функция принадлежности определяется следующим выражением:

Определенную таким образом композицию бинарных нечетких отношений называют иногда (max-min)-композицией или максиминной сверткой нечетких отношений.
Альтернативные операции композиции двух бинарных нечетких отношений. Нечеткое бинарное отношение, заданное на декартовом произведении Х1×Х3 и обозначаемое через Q * R, называется (max-*)-композицией бинарных нечетких отношений Q и R, если его функция принадлежности определяется следующим выражением:

В частности, если в этом выражении вместо операции «*» использовать операцию алгебраического умножения, то получим определение (max-prod)-композиции.
(min-max)-композиция. Нечеткое бинарное отношение, заданное на декартовом произведении Х1×Х3 и обозначаемое через Q + R, называется (min-max)-композицией бинарных нечетких отношений Q и R, если его функция принадлежности определяется следующим выражением:


Теперь перейдем непосредственно к задаче. Данный метод разработан для решения конкретной задачи в сфере управления персоналом, поэтому опишу его работу сразу на примере этой задачи.
Итак, есть два множества: совокупность должностей и их профили и совокупность работников, которых нужно максимально эффективно распределить. Таким образом, входными данными являются данные множества, а выходными – степени соответствия кандидатов должностям.
В связи с вышесказанным, рассмотрим нечеткую модель, основанную на двух бинарных нечетких отношениях Ϯ и Ψ. Первое из этих нечетких отношений строится на двух базисных множествах Х = {x1,…, xn} и У = { y1,…, ym }, а второе – на двух базисных множествах У = { y1,…, ym } и Z = { z1,…, zl }. Здесь Х описывает множество специальностей, по которым проводится набор на работу, У – множество характеристик (свойств) должностей а Z – множество кандидатов на должности. В интересуемом нас контексте нечеткое отношение Ϯ содержательно описывает профили специальностей, а Ψ – профили кандидатов на должности. Для определения соответствия кандидатов должностям воспользуемся композициями исходных нечетких отношений. Так, (max-min)- и (max-prod)-композиции (см. пункт 2.2) дают информацию о степени соответствии кандидата вакансии и возможности его назначения, а (min-max)-композиция возможно позволяет определить работника, который не подходит на данную работу.
Таким образом, применяются три модели: