Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 50 )

Г. Функцию f можно определить и непосредственно с помощью выпуклых нормализованных нечетких множеств. Выпуклые нечет­кие множества удобны по той причине, что они моделируют гру­бо специфицированные значения. Если эти нечеткие множества снабжены контекстно зависимыми метками на естественном язы­ке, то можно говорить о лингвистических спецификациях. Есть три типа причин, по которым f может задаваться лингвистически: 1) даже при хорошо известной функции f может возникать инте­рес только к ее грубому описанию; 2) доступность только прибли­женного описания f, как, например, в случае Б, когда неточность данных эквивалентна заданию нечетких множеств; 3) f — не на­стоящее отображение, может рассматриваться как таковое с точ­ностью до аппроксимации. Эта ситуация относится к случаю В. Данные относительно f можно разбить на кластеры, чтобы постро­ить нечеткие множества, наделенные лингвистической интерпрета­цией. Такую лингвистическую спецификацию можно описать как множество пар нечетких множеств.

5.2. Четкое представление нечеткой гранулированной спецификации

Рассмотрим данные, состоящие из где Xі

(соответственно Yi) — нечеткое множество на (соответственно на выпуклое и нормализованное по предположению. Если считать, что в основе истинного отображения лежит такая спецификация, то для любого i множество Yi будет образом множества Хi при отображении f, т. е. можно использовать прин­цип продолжения

(2)

при ограничении y=f(x). Соотношение (2) словами можно вы­разить так: «чем больше х принадлежит Х1, тем больше у при­надлежит Yi» Действительно, из (2) следует

(3)

Другими словами, если f сужено на носитель множества

Хі, то f — отображение с нечеткой областью определения Хі и нечеткой областью значений Yi. Такого типа отображение деталь­но изучалось в литературе по нечеткой топологии. Отметим, что соотношение (2) определяет наименьшее не­четкое множество Yi (в смысле обычного включения нечетких множеств), которое при заданном Хі удовлетворяет неравенству (3). Условие (3) можно также интерпретировать в терминах α-срезов:

или эквивалентно

В рамках этой интерпретации проблема идентификации со­стоит в том, чтобы найти функцию f, удовлетворяющую соотно­шению (2). Именно, каждая пара множеств (Хі, Yi) порождает часть fі функции f, определенной на S(Xі). Затем все части fі нужно объединить в единственную функцию f.

Для данной пары i условие (2) можно представить в виде

(4)

где

Решением (4) для заданного значения у будет характеристиче­ская функция множества Другими словами, fі определяется из условия

Заметим, что fі не обязательно существует на S(Xі), например, если . Кроме того, fі может определяться неоднозначно, например, если такой, что множество содержит более одного

элемента. Для того чтобы характеризовать f на основе всех дан­ных пар следует отыскать процедуру для син­теза множества отображений, полученных от каждой пары По сути надо проверить согласованность fі и fj в случае, когда А именно, чтобы избежать про­тиворечивой информации, множества возможных значений fі(х) и fj(х) не должны пересекаться. Итак, множество условий для существования не нечетких отображений f, лежащих в основе гранулированной спецификации име­ет вид

(5)-(6)

При условиях (5) и (6) функцию f можно (не единственным об­разом) выбрать из условия:Заметим, что если для представлениясуществует функция f, тo

(7) Доказательство. Согласно (3)

Примечание. Если Хі, Yi — нечеткие множества при всех i, то так что прямое произведение ­

coставляет возможную область значений для определения fі.

Если f не существует, то для представления гранулированной спецификации вместо четкого отображения можно попытаться по­строить нечеткое отношение.

5.3. Нечеткое представление нечеткой гранулированной спецификации

Обобщение (2) на нечеткое представление приводит к пробле­ме нахождения нечеткого отношения R на построенного из нечетких отношений Ri, таких что

(8)

И опять ответ не единственный.

Интересным решением (8) будет прямое произведение определенное в (1). Это — решение невзаимодействующее, так как всякое сужает Хі и Yi до и приводит к

сужению на Это согласуется с примечанием в разд. 5.2.

Заметим, что всегда будет решением (8) только потому, что Хі и Yi имеют один и тот же вес (как нормализованные нечеткие множества). Прямое произведение называется нечеткой гранулой.

Переобозначая (8) в компактной форме имеем

(9)

так что представляет собой двухстороннее решение, не заключающее в себя идею причинной связи между Хі и Yi. В представлении через предполагается всего лишь

возможно одновременное появление Хі и Yi. Наконец, Хі и Yi можно восстановить из с помощью проекции.

Общее отношение целесообразно определить как

(10)

где обозначает max.

Это определение устанавливает, что R отражает возможность одновременного появления любой пары (Хі и Yi) (Когда гранулы частично перекрываются, суммируем их, беря их объедине­ние (в смысле max), и тем самым отходим от вероятностной интерпретации гранул).