Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 32 )

Решение. Согласно (7) .

Определим минимум по для и  .

Эти две кривые пересекаются в двух точках:

а) условие дает точку

б) условие  дает точку

На рис. 2,в. сплошной линией выделена кривая , максимум которой достигается при  . Таким образом,  .

Pис. 2

Пример 4. Пусть нечеткое множество  на  задано функцией принадлежности , где  и задано на Y×Y четкое отношение порядка , где . Найти образ B множества  в Y, генерируемый отношением .

Решение.

Рассмотрим два интервала:

а) для :

при

б) для  

 ,

т. е. достигает максимума при

Итак,

Пример 5. Пусть заданы два нечетких множества  и  на  с функциями принадлежности  и  ,где

Пусть  – четкое отношение нестрогого порядка , т. е.

Найти функцию принадлежности обобщенного нечеткого отношения предпочтения , генерируемого отношением R на , .

В соответствии с соотношением (10)

Рассмотрим кривые (рис. 3) и найдем точки их пересечения.

Pис. 3

Имеем . Найдем левую точку пересечения :

или

Точка пересечения кривых определяется при .

а) Итак, на интервале

 ;

б) на интервале , где – z2 вторая(правая) точка пересечения кривых  и  ;

в) на интервале .

Недоминируемые альтернативы в общей задаче
нечеткого математического программирования.

Рассмотрим в общем виде задачу нечеткого математического программирования и сведем ее к задаче принятия решений при нечетком отношении предпочтения

Формально задача НМП формулируется следующим образом.

Пусть X – универсальное множество альтернатив и

Задано нечеткое подмножество допустимых альтернатив. Пусть Y - универсальное множество оценок результатов альтернатив из множества X и  заданное на множестве Y н. о.п. Выборы альтернатив оцениваются нечеткими значениями заданной нечеткой функции цели

Задача заключается в рациональном выборе альтернатив на основе информации, заданной в описанной выше форме. При анализе этой задачи будем считать для простоты, что множество допустимых альтернатив X описано четко.

Построим на множестве X н. о.п. индуцированное исходным н. о.п.  и нечеткой функцией цели φ, а затем выделим в нем подмножество недоминируемых альтернатив.

Любой альтернативе x0 заданная функция φ ставит в соответствие нечеткую оценку этой альтернативы в виде нечеткого подмножества оценок  на Y.

Пусть  – н. о.п., индуцированное исходным отношением н. о.п. на классе Y всех нечетких подмножеств множества Y.

Пользуясь этим отношением, можно сравнивать по отношению предпочтения нечеткие оценки альтернатив, а следовательно, и сами эти альтернативы. Иными словами, степенью предпочтения альтернативы альтернативе будем  считать степень предпочтения нечеткой оценки  нечеткой оценке  , т. е. положим

 ,  (15)

где  ,  — соответствующие x1 и x2 нечеткие подмножества оценок.

Таким образом, используя определение η получаем н. о.п. на множестве альтернатив следующего вида

 .  (16)

Заметим, что в аналогичной задаче с четко описанной ц. ф.  определение (15) сводится к обычному (четкому) отношению предпочтения .