Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 68 )

1. Прообраз множествав пространстве относительно отображения і ° φ непуст. В этом случае за ядро исходного множества X принимаем прообраз ядра множества Y.

2. Прообраз пуст. Это означает, что множест­во в пространстве не содержит транзитивных отно­шений. В этом случае естественно пополнить множество та­ким отношением, которое, с одной стороны, имело бы прообраз в а с другой стороны, «не слишком бы отличалось» по своему геометрическому расположению от ядра.

В качестве такой точки предлагается рассматривать максималь­ную точку Рк, содержащуюся (в смысле «не превосходящую») в и такую, что ее прообраз в существует. Выбор

именно такой точки продиктован следующими геометрическими соображениями. Любая другая точка вне ядра содержится в пере­сечении некоторых (не всех) максимальных элементов выпуклой оболочки Следовательно, эта точка «ориентирована» на эти

максимальные элементы и расположена «неравномерно» по отно­шению к исходному множеству.

Следующее утверждение позволит нам указать алгоритм для построения отношения Рк.

Теорема 8.4. Образ точки Рк приотображении i-1 совпадает с транзитивным замыканием отношения

Доказательство. Поскольку точка Рк есть максималь­ное отношение в содержащееся в Рmin и имеющее прообраз в есть минимальное отношение в содержащее и такое, что есть минимальное транзитивное от­ношение в содержащее Отсюда следует, что совпадает с транзитивным замыканием

Итак, для построения ядра множества X в пространстве мы последовательно рассматриваем точку Рmin, ее прообраз

в пространстве транзитивное замыкание отношения

и, наконец, в качестве единственной точки — ядра мно-

жества X — образ отношенияв пространстве

Подводя итог исследованиям, проведенным в этом разделе, отме­тим, что в нем предложено решение основной задачи — построение множества допустимых групповых решений для трех пространств предпочтений. В дальнейшем мы рассмотрим алгоритм построения ядер в этих пространствах и различные примеры, иллюстрирующие основные введенные понятия.

8.6. Блок-схема алгоритма «Ядро»

В предыдущих параграфах этого раздела было получено строгое решение задачи построения множества допустимых групповых ре­шений в пространствах и предложен эвристический ме­тод решения этой задачи для случая, когда исходные данные при­надлежат пространствуПоскольку решение последней задачи включает решение первой, то при разработке алгоритма естест­венно рассматривать более общий случай, когда исходные данные принадлежат и в этом же пространстве ищутся допустимые групповые решения.

Итак, пусть исходные данные являются отношениями линей­ного квазипорядка, т. е. экспертные оценки представляются в виде ранжирований исследуемых объектов по предпочтениям. Зафикси­руем нумерацию оцениваемых объектов. Будем через

обозначать текущий индекс объекта, через —текущий индекс эксперта, через— ранжирование, полученное от i-го эксперта, где rij — ранг j-го объ­екта, присвоенный ему i-м экспертом. Таким образом, входными данными являются: Блок-схема на рис. 8.3 описывает работу алгоритма.

Рис. 8.3.

Пояснения к блок-схеме будут сопровождаться примерами на трех объектах а, b и с.

1. Для каждой ранжировки Rі выписываем матрицу

отношенияпредпочтения і-го эксперта по правилу

Пусть т. е. эксперт считает, что Матрица отношения предпочтения i-го эксперта в пространстве имеет вид

2. Переносим исходные данные из в соответствии с формулой

Для выписанной в п. 1 матрицы отношений впространстве

имеем матрицу Рі:

а сама точка Pi в графическом представлении имеет вид

3. Выписываем минимальное отношение

по ус­ловию

Так, для трех отношений в

имеем

4. Выписываем максимальное отношение

в пространстве по правилу

Для отношений из п. 3 имеем

5. Для каждой из точек Рі в пространстветеперь нужно найти соответствующую ей максимальную ближайшую точку

Обозначим

5а) Цикл поВыход в п. 6.

5б) Для каждой точки Рі находим матрицу «добавок», т. е. матрицу техдобавление которых к Рі по описанному ниже правилу позволит найти соответствующий максимальный элемент

Для примера из п. 3 для Р1, имеем