Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 29 )

Итак, отношение подобия S является обобщением обычного отношения эквивалентности и также определяет совокупность разбиений области X на непересекающиеся классы эквивалентности в силу того, что условие транзитивности (3) налагает достаточно жесткие ограничения на возможные значения функции принадлежности отношения S. Другие типы транзитивности, помимо рассмотренной выше так называемой MIN-MAX-транзитивности, существующие в теории нечетких множеств, обусловлены свойствами операции композиции и также налагают некоторые ограничения на возможные значения степеней принадлежности отношения S.

Вместе с тем, замечание Заде о размытости большинства реальных классов можно дополнить замечанием о том, что реальные классы объектов, помимо того, что являются размытыми, в большинстве случаев пересекаются. Более того, нельзя не согласиться с американским специалистом в области нечеткой классификации Руспини в том, что «отношение подобия, в общем, есть нетранзитивное бинарное отношение. Другими словами, из ”А подобно В” и ”В подобно С” не следует, что ”А подобно С”». Эти соображения приводят к заключению о необходимости отказа с целью обобщения от условия транзитивности отношения эквивалентности также и в нечетком случае.

Нетранзитивное нечеткое бинарное отношение, определяемое условиями симметричности (1) и рефлексивности (2), в научной литературе именуется отношением сходства, безразличия, неразличимости или толерантности.

Отношение сходства, определяемое условиями (1) и (2), которые имеют естественную интерпретацию, и получившее в специальной литературе с целью отличия его от отношения подобия S обозначение S2, разбивает предметную область X на пересекающиеся классы. Для отношения сходства S2 выражение может трактоваться следующим образом: «степень сходства объектов x и y, принадлежащих множеству X, равна 0.7». Поскольку в качестве области значений функции принадлежности нечеткого отношения S может выступать не только отрезок вещественной прямой [0,1], но и, к примеру, псевдобулева алгебра, множество вещественных чисел, а также множество лингвистических переменных, то степень сходства элементов может быть указана не только числом из интервала [0,1], но и языковыми выражениями, линейно упорядоченными между собой, такими, к примеру, как «очень слабое сходство», «слабое сходство», «среднее сходство», «сильное сходство», «очень сильное сходство». В нашем примере при использовании лингвистической переменной исходное выражение может трактоваться следующим образом: «объекты x и y, принадлежащие множеству X, сильно похожи».

Таким образом, отношение сходства, определяемое условиями (1) и (2), можно интерпретировать как «два объекта x и y, принадлежащие одной предметной области X, похожи между собой», или, короче, «x похож на y». Очевидно, что при разбиении предметной области X нечетким отношением сходства S2 на пересекающиеся классы сходства в области пересечения окажутся объекты, в той или иной мере обладающие признаками, свойственными обоим пересекающимся классам, т. е. похожие объекты, а объекты, обладающие признаками одного класса и не обладающие признаками другого, т. е. существенно различающиеся между собой объекты, однозначно окажутся в различных классах. Следует также отметить, что степень принадлежности объекта классу зависит от степени выраженности объектом признаков, свойственных объектам, типичным для данного класса. Данный тезис является одним из основных положений современной теории нечеткой автоматической классификации.

В нескольких работах, посвященных проблеме нечеткого кластер-анализа, были предложены отношения сильного и слабого сходства и были исследованы их некоторые свойства. Применение данного аппарата позволяет более адекватно представлять данные для последующего анализа и, соответственно, создать более гибкие методы классификации. Поскольку одним из этапов процесса абстрагирования является классификация объектов, то применение аппарата нечетких отношений, используемых в теории нечеткой классификации, к решению проблемы моделирования процесса абстрагирования вполне правомерно.

Нечеткое отношение сильного сходства на множестве X, обозначаемое S3, было определено как симметричное в смысле условия (1) и сильнорефлексивное бинарное отношение. В свою очередь условие сильной рефлексивности определяется как условие

(4)

совместно с условием рефлексивности (2). Если нечеткое отношение сходства представить в виде матрицы сходства объектов, то на главной диагонали этой матрицы всегда будут стоять единицы. Однако, если для отношения сходства S2 допустима ситуация, когда , т. е. в составе одного класса сходства на множестве X существует два абсолютно идентичных объекта и возможна ситуация, когда в матрице сходства единицы могут стоять и вне главной диагонали, то для отношения сильного сходства S3 абсолютно идентичных объектов не существует. Термин же «сильное сходство», являясь устоявшимся математическим термином, указывает на тождественность некоторого объекта только самому себе. Таким образом, нечеткое отношение сильного сходства содержательно можно интерпретировать следующим образом: два объекта x и y, принадлежащие одной предметной области X, похожи между собой, но не тождественны друг другу.

Следует указать, что тип отношения, порождающего соответствующую структуру, обусловливается принятием во внимание признаков и свойств анализируемых объектов.

Нечеткое отношение слабого сходства на множестве X, обозначаемое S1, определялось как симметричное в смысле условия (1) и слаборефлексивное бинарное отношение, где условие слабой рефлексивности определялось как условие

(5)

Если же в условии слабой рефлексивности (5) выполняется строгое неравенство, то такое нечеткое отношение именуется строгим отношением слабого сходства, получившим обозначение S0. Условие слабой рефлексивности (5) в отношении слабого сходства S1 можно трактовать следующим образом: степень сходства объектов x и y, принадлежащих множеству X не выше, чем сходство какого-либо объекта с самим собой. Здесь необходимо указать на одно очень важное обстоятельство: поскольку условие рефлексивности (2) не является определяющим для этого типа отношений сходства, то возможны ситуации, когда , что можно интерпретировать фразой «объект x, принадлежащий множеству X, не тождественен сам себе».

В качестве иллюстративного примера из техники можно привести самолет с изменяемой геометрией крыла, т. е., как определял это понятие польский инженер, специалист в области сверхзвуковой авиации Эдмунд Цихош, «самолет, крылья которого изменяют в полете угол стреловидности передней кромки по желанию пилота или по заданной программе. При изменении угла стреловидности изменяются размах и отчасти площадь, а также положение сечений крыла относительно направления потока…». В одной из работ, посвященных проблемам нечеткой классификации, для рассмотрения возможности применения нечетких отношений слабого сходства при представлении данных в задачах нечеткого кластер-анализа в качестве примера самолета изменяемой геометрии крыла рассматривался американский самолет F-111; примерами могут послужить и многие другие самолеты как зарубежной, так и отечественной разработки, однако для человека, не являющегося специалистом в области авиационной техники, один и тот же самолет, но при различных углах стреловидности передней кромки крыла может быть воспринят как два совершенно разных типа самолетов.

Нечеткое отношение строгого слабого сходства на множестве X, обозначаемое S0, соответственно допускает следующую интерпретацию: степень сходства любых двух объектов x и y, принадлежащих одной предметной области X, меньше, чем сходство любого объекта, принадлежащего этой же предметной области X, с самим собой. Иными словами, независимо от состояния, любые два объекта из области X различаются больше, чем разные состояния любого одного объекта из этой же предметной области. Разумеется, что в такой интерпретации подразумевается, что речь идет не собственно об объектах или их состояниях, а о признаках, свойствах этих объектов при их различных состояниях.

Было показано, что нечеткие отношения сходства упорядочены между собой следующим образом:

(6)

где символ означает отношение нестрогого включения. Условие (6) выполняется для любых пар (x, y) на декартовом произведении .

Таким образом, на основе проведенного краткого рассмотрения нечетких отношений сходства можно сделать вывод, что они являют собой гибкий и эффективный аппарат для представления неточных, неопределенных и нечетких данных при решении задач классификации объектов. Применение этого аппарата в теории определений через абстракцию позволит обобщить принцип абстракции и разработать методы компьютерного моделирования процесса образования абстракций, что в свою очередь является одной из важнейших проблем искусственного интеллекта. Однако область применения нечетких отношений сходства не ограничена только лишь математическими аспектами задач классификации или, как было продемонстрировано выше, некоторыми математическими аспектами теории определений через абстракцию; этот вид нечетких отношений должен найти более широкое применение в таких областях, как моделирование социально-экономических процессов, в медицинских, социокультурных и других исследованиях в самых различных сферах познавательной деятельности человека. Более детальное гносеологическое рассмотрение предложенного аппарата нечетких отношений сильного и слабого сходства позволит значительно продвинуться вперед по пути решения этих и других проблем современной науки.