Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 82 )

Доказательство. В силу условия (PI)

откуда илиили т. е. Аналогично доказывается вторая часть утверждения леммы.

Лемма 11.5.

Доказательство. Надо показать, что

(11.22)

Рассмотрим два случая.

Тогда в силу (11.15). Имеем

что и требовалось доказать.

Еслиили равны нулю, то (11.22) тривиально. Пусть Тогда и в силу (PI) имеем

откуда так как Из следует, что так как R — линейное отношение. Но тогда

откудапо предыдущей лемме. Полученное противоречие завершает доказательство леммы.

Доказательство следующей леммы вполне аналогично преды­дущему, и мы его опускаем.

Лемма 11.6.

Следующая лемма утверждает, что условия и

в совокупности определяют транзитивное нечеткое предпо­чтение.

Лемма 11.7.

Доказательство. Имеем в силу (11.18) — (11.21)

Следующие две леммы утверждают, что других логических связей между свойствами транзитивности, кроме перечисленных выше в леммах 11.2 — 11.4 и 11.5 — 11.7, не существует.

Лемма 11.8. Ни одно из свойств (11.17) — (11.21) не является логическим следствием никакого собственного подмножества множест­ва свойств не содержащего этого свойства.

Доказательство. Для каждого трехэлементного подмно­жества множества свойств мы построим пример нечеткого предпочтения, обладающего свойствами из это­го подмножества и не обладающего остальными свойствами тран­зитивности. Существование таких примеров и доказывает лемму.

1) Рассмотрим подмножество Пусть на трех-

элементном множестве X задано нечеткое предпочтение R с матрицей

Тогда І и Р имеют следующие матрицы

Легко проверяется, что R обладает свойствами и

не обладает свойствами (РР) и (Т).

2) Рассмотрим подмножество Определим не­четкое предпочтение R матрицей

Очевидно, чтоТак как R не транзитивно, то (Т)

и (ІІ) не выполнены, тогда как , выполняются.

3) Пусть—подмножество условий. Опреде­лим нечеткое предпочтение R матрицей

Имеем

Очевидно, что (ІІ) и (РР) выполнены. Имеем

т. е. (ІP) также выполняется. Легко проверить, однако, что

т. е. условия (Т) и (PI) не выполняются.

4) Рассмотрим, наконец, следующее подмножество

Здесь требуемым примером является нечеткое предпочтение R с матрицей

Для этого нечеткого предпочтения легко проверяется, что условия (ІІ), (РР) и (PI) выполнены, a (IP) и (Т) — нет.

Лемма 11.9. Из (Т) не следует (ІP) или (РІ).

Доказательство. Рассмотрим нечеткое предпочтение R, обладающее свойством (Т) с матрицей

Это нечеткое предпочтение обладает свойствами (Т) и (РР). Оче­видно, что для этого R справедливо, чтоПо лемме 11.4 отсюда следует, что (PI) и (ІP) не выполнены.

Полученные результаты могут быть объединены в следующую теорему.

Теорема 11.4. Все логические связи между различными свойст­вами транзитивности (11.17) — (11.21) описываются диаграммами

и

11.8. Нечеткие квазипорядки

Стремление использовать в теории нечетких множеств доста­точно полные аналоги соответствующих четких понятий приводит нас к следующему определению.

Определение 11.12. Нечетким квазипорядком называется нечет­кое предпочтение, обладающее свойствами (Т) и (PІ).

В силу теоремы 11.4 нечеткие квазипорядки удовлетворяют всем условиям (11.17) — (11.21).

Пусть R — некоторый нечеткий квазипорядок. Тогда Р и І яв­ляются транзитивными нечеткими отношениями и определено ка­ноническое отображение

Нашей ближайшей задачей будет установление свойств нечет­ких квазипорядков, аналогичных известным свойствам четких квазипорядков.

Лемма 11.10. Пусть— образ строгого нечеткого

предпочтения при каноническом отображении. Тогда L — транзи­тивное и антисимметричное нечеткое отношение.

Доказательство. В силу свойств (PI) и (РР) имеем

откуда следует транзитивность нечеткого отношения L. Далее,

(11.23)

в силу свойств (IP) и (PI). Антисимметричность нечеткого отно­шения L непосредственно следует из (11.23).

Таким образом, отношение строгого продпочтения Р для не­четких квазипорядков индуцирует частичный нечеткий порядок L на фактор-множествеВообще говоря, L не является линей­ным нечетким порядком, как это имеет место в четком случае. Следующая теорема дает необходимое и достаточное условие того, что индуцированное нечеткое отношение L является линейным нечетким порядком.

Теорема 11.5. Образ строгого нечеткого предпочтения Р при ка­ноническом отображении на фактор-множество тогда и только тогда является линейным нечетким порядком, когда нечеткое от­ношение безразличия I является четким отношением.

Доказательство. Пусть — линейный нечеткий порядок на и для некоторой пары элементов