Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 72 )

9.3. Полные и неполные пространства

Как видно из изложенного выше, в основе всех построений в рамках геометрического подхода лежит эквивалентность двух понятий выпуклости — геометрического и опирающегося на прин­цип единогласия Парето. В 7.2 был доказан простой критерий, позволяющий установить наличие такой эквивалентности. Для этого достаточно потребовать, чтобы рассматриваемое пространст­во бинарных отношений удовлетворяло условию полноты (см. 7.2). Однако полнота пространств не является необходимым условием эквивалентности двух понятий выпуклости. Так, напри­мер, пространствоотношений толерантности не является пол­ным, однако для него можно доказать эквивалентность двух по­нятий выпуклости.

На диаграмме 6.5 можно легко указать пространства, явля­ющиеся полными. Это пространства по­следнее — тривиально полное. Все остальные пространства пол­ными не являются. Однако для некоторых из них довольно легко устанавливается эквивалентность двух понятий выпуклости. Та­кими пространствами являются два изоморфных пространства

изученные в предыдущем параграфе, а также пространства

Пространство разбиенийдает нам пока единственный при­мер пространства, в котором два определения выпуклости не совпадают и приводят, вообще говоря, к разным выпуклым множествам. Покажем это на следующем примере.

ПустьРассмотрим множество

элементы которого задаются матрицами отношений

Легко проверить, что множество X является выпуклым в смысле определения 7.4. Однако оно не является выпуклым в смысле определения 7.5, так как отношение эквивалентности І с матрицей

лежит между всеми элементами из X (оно совпадает с

но не принадлежит X. Следующая таблица подводит итог рассмотрению свойств полноты и выпуклости для пространств из диаграммы 6.5.

9.4. Сравнение геометрического и метрического подходов

В атом параграфе мы проиллюстрируем работу алгоритма для построения ядра выпуклой оболочки на четырех парах простейших примеров и одновременно проведем срав­нение результатов применения метрического и геометрического подходов к решению задач группового выбора. Пары примеров составлены следующим образом: в первом примере каждой пары исходные данные задаются в пространстве и в нем же ищет­ся групповое решение, во втором примере в качестве исходных принимаются все точки выпуклой оболочки в пространстве полученной в первом примере пары, и групповое решение ищет­ся также в

Все примеры проводятся для Фрагменты пространств, изображаемые на рисунках, представляют собой выпук­лые оболочки для исходных данных примера. Стрелками на рисунках указываются отношения включения. Для удобства пред­ставления о расположении исходных данных в пространствах на рис. 9.1 эти пространства изображены целиком. Исходные данные в первых примерах каждой пары для прост­ранствабудут обозначаться через а соответствую­щие им точки в —через

Рис. 9.1.

Начиная со второй пары примеров все исходные отношения будут сразу приводиться в одной таблице. Только в первом примере будет подробно опи­сано формирование максимальных элементов ближайших кданным Рі. В остальных же — они будут сразу отмечаться на рисунке.

Для сравнения условий, в которых приходится решать проб­лему группового выбора в пространствахв каждом примере для каждого пространства будут определены точки ядра, точки, в которых достигается или минимум суммы расстояний

до исходных, т. е. медианы, или минимум суммы квадратов та­ких расстояний, т. е. среднее (напомним здесь лишь то, что все расстояния между бинарными отно­шениями, вводимые при метрическом подходе аксиоматически, совпадают с расстоянием Хемминга между соответствующими булевыми матрицами отношений). Все эти данные будут сводитьсяв таблицы, непосредственно следующие за фрагментами прост­ранств, являющихся выпуклыми оболочками для исходных дан­ных примера.

Примеры подобраны таким образом, чтобы проиллюстрировать такие конфигурации расположения индивидуальных предпочте­ний, которые приводят к ядрам (множествам допустимых груп­повых решений) разной размерности — от минимального нулевого до максимального 3-мерного (подразумевая реализацию прост­ранства в виде подмножества вершин куба размерности где п — число объектов), а также показать различные случаи соотнесения точек ядра с точками, принимаемыми в ка­честве групповых решений в метрическом подходе, т. е. с медиа­нами и средними.

Отметим очевидную из рис. 9.1 разницу в пространственном расположении точек в используемых пространствах. В прост­ранствевсе расстояния между соседними точками равны 1, т. е. в этом отношении пространство— «однородное», точки в нем расположены равномерно, без сгущений и разрежений. В пространстведело обстоит не так. По периметру шестиугольника, на котором расположены 12 точек, расстояния между соседними точками равны 1, но между этими точками и тачкой, расположенной в центре пространства расстояние равно 2

или 3, как это показано на рис. 9.1.

Пример А1. Пусть исходное множество X состоит из двух линейных квазипорядковВыпишем матрицы отношений R1 и R2:

и их образы в пространстве

В данном примере исходные точки отстоят друг от друга на расстояние d = 5, т. е. почти на максимальное расстояние Построим ядро в в соответствии с процедурой, описанной в 8.3. Находим

Найдем теперь максимальные элементы P1 и Р2. Непосредствен­ной проверкой убеждаемся, что какой бы элемент из разности мы ни добавляли к P1, мы не получим транзитивного отно­шения. Следовательно, Р1 уже само является максимальным эле­ментом. В разности же только добавление пары дает транзитивное отношение и, следовательно,

Отсюда получаем, что ядерное отношение

Таким образом, мы получили одномерное ядро, состоящее из двух точек: Следовательно, в пространствемножество допустимых групповых решений состоит из двух отношений, первое из которых говорит о том, что экс­перты «в среднем» не различают объекты или считают их не­сравнимыми, а второе — что эксперты могут «в среднем» про­вести различие только между двумя объектами а и с, а именно: (а, с), а третий объект b считают несравнимым с объектами а и с.

При переносе построенного ядра в пространствополучаем только одно решение, соответствующее Pmin, поскольку для РK в пространстве нет соответствующего отно­шения. Полученное в отношение R содержательно означает, что «в среднем» эксперты считают все объекты эквивалентными.