Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 26 )

Подсчитав

= ...

(чтобы получить , необходимо взять = ...; очевидно, что все элементы стремятся к 1/2, за исключением элементов на главной диагонали, которые остаются равными 1) получим отношение, которое представлено на рис. 74.

Рис. 74.

В таком случае имеем

(х, у) =

Следовательно, можно заключить, что

(х, у) = .

Заметим, что, если в (104) считать, что

x R+ и у R+,

то получим

(х, у)=0

для всех х и у. Однако здесь нет парадокса, поскольку расстояние между х и у = х + dx бесконечно мало и того же порядка, что и dx. Конечно, если расстоянию придать некоторый другой смысл, чем придаваемый рассмотренному здесь (min — mах)-расстоянию, то это заключение следует пересмотреть.

(Мах—∙ )-транзитивное замыкание для отношения сходства.

Пусть — отношение сходства. В некоторых случаях предпочтительнее измерять расстояние между элементами с помощью (max—∙ )-оператора вместо (max — min)-оператора, т. е. использовать выражение:

(x, z)= [ (х, y) ∙(y, z)].

(Мax — •)-транзитивное замыкание отношения определяется как

= ...

где

= , k=1,2,3,...

Точка над и напоминает нам, что мы имеем дело с (max — •)- композицией.

Пример 5. Напомним, что для отношения на рис. 70 мы подсчитали и на рис. 71 и 72. На рис. 75 можно увидеть, как определялись , , , , .

Рис. 75.

Замечание к вычислению . Раньше мы видели, что

°•,

хотя обратное утверждение неверно.

Теорема 2 из п. 2.3 (равенство (52)) также справедлива для (mах—• )-операции. Для некоторого конкретного k имеем

= = ...

В случае, когда есть отношение сходства, аналогично имеем

= = .

(Min — sum)-расстояние на отношении сходства. (Min — sum) -расстоянием будем называть величину

(x, y) = (x, y).

Но сначала следует установить, удовлетворяет ли эта функция аксиомам расстояния (100) - (103).

(100) удовлетворяется априори, поскольку (х, у) [0, 1].

(101) удовлетворяется априори, поскольку отношение симметрично.

(103) удовлетворяется априори, поскольку отношение рефлексивно, откуда следует, что (x, y)= 0.

Остается показать, что это расстояние действительно обладает свойством (102). Мы поступим так же, как это было сделано для (93)-(96). Имеем

(х, z) > [ (х, у) • (у, z)],

отсюда, руководствуясь правилами операций по теоремам Де Моргана для нечетких множеств, имеем:

1- (х, z)≥ [[1- (х, у)] •[1- (у, z)]] ≥

≥ [l- (x, y)- (y, z) + (x, y) • (y, z)].

Это дает

(х, z)≤ [ (х, у)+ (у, z)- (х, у)+ (y, z),

(х, z)≤ [ (х, у) (у, z)],

где есть алгебраическая сумма, которая определена формулой для алгебраической суммы двух отношений. Теперь видно, что для (max — sum)-oпepaтopa определенно удовлетворяется свойство (61).

Пример 5. Рассмотрим опять пример на рис. 70. На рис. 75 мы подсчитали (max — •)-транзитивное замыкание, т. е. .