Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 24 )

l'i =lm-1 i= 0, 1, …, m...

Если на F задана операция дополнения, то из отношения строгого порядка могут быть получены

отношение сходства

; (80)

отношение различия

(81)

отношение слабого порядка

= . (82)

Отношение (82) удовлетворяет условию полноты:

(x, y) (y, x) = I х, у Х. (83)

Таким образом, если на X задано нечеткое отношение строгого порядка, то с его помощью могут быть построены на X нечеткие отношения сходства (различия) и слабого порядка. Транзитивность отношения определяет тот или иной уровень транзитивности отношений и . В частности, если является нечеткой квазисерией, то определяемое им является нечетким отношением эквивалентности, а отношение будет нечетким квазипорядком, т. е. рефлексивным и транзитивным.

Из (78) и (79) видно, что соотношение (82) может

использоваться для получения из полного (83) отношения слабого порядка

отношения строгого порядка

= (84)

отношения сходства

= (85)

отношения различия

= .

Если отношение слабого порядка не является полным, то соотношение (85) также будет определять некоторое отношение сходства, однако (84) уже не будет определять строгого порядка.

Такой порядок может быть получен из при L= [0, М] с помощью соотношения

= \ , (86)

где операция \ определяется следующим образом:

( \ )(ху)=

При транзитивном соотношение (86) определяет транзитивное (70) .

Кроме рассмотренных типов нечетких отношений порядка и слабого порядка, в теории принятия решений используются следующие отношения предпочтения. При L=[0, 1] отношение называется (+)-полным, если

(х, y) + (у, х) =1 х, у Х.

Для подобных отношений предпочтения, которые часто интерпретируются как вероятностные отношения предпочтения, рассматриваются условия стохастической транзитивности:

(х, y) ≥1/2, (y, z)≥ 1/2 (x, z) ≥1/2, (87)

и сильной стохастической транзитивности:

(х, у)≥ 1/2, (у, z)≥ 1/2 (x, z) ≥ (x, y) (y, z). (88)

Отношение строгого предпочтения, связанное с подобным отношением предпочтения, может быть определенно следующим образом:

(x, y)= (89)

Нетрудно найти связь между условиями (87), (88) и условиями отрицательной и сильной транзитивности строгих порядков.

При L = [0, М] отношение называется (• )-полным, если

(x, y) • (y, x) =1.

Для подобных отношений предпочтение (x, у) обычно интерпретируется как «во сколько раз х лучше, чем у», и рассматривается обычно условие сверхтранзитивности

(x, z) = (x, у) • (y, z),

которое можно записать в виде:

(x, y)>0, (y, z)>0 (x, z) = (x, y) • (y, z).

Отношение строгого порядка, которое связано с (• )-полными

отношениями, можно определить также с помощью (89).

Нечеткие отношения порядка могут быть получены многими способами и допускать различную интерпретацию. (х, у) и (x, у) могут выражать или значение какого-нибудь физического параметра, который характеризует интенсивность доминирования х над у, или усредненную по множеству критериев или индивидуумов силу предпочтения между объектами. Они могут быть получены с помощью шкалы сравнений, в которой эксперты измеряют интенсивность предпочтений при попарных сравнениях альтернатив, могут выражать уверенность, возможность, вероятность доминирования и т. д. Заметим, что возможные интерпретации и способы получения рассмотренных отношений значительно более шире тех, которые подразумеваются в названии «нечеткие отношения».

2.9. Отношения различия

Рассмотрим отношение подобия , которое определено ранее. Для этого напомним здесь три свойства подобия:

1) (х, у),(у,z),(z, x) E×E:

(х, z)≥ [ (х, у) (у,z)] - транзитивность (90)

2) (x, x) E×E: (х, х)=1 — рефлексивность, (91)

3) (х, у) E×E: (х, у) = (у, х) - симметрия. (92)

Теперь с свяжем отношение , такое, что (х, у) E×E: (х, у)=1- (х, у). (93)

Зная, что отношение обладает свойствами (90) — (93), можно определить и свойства отношения . Начнем со свойства (90).

Имеем:

1- (х, z) ≥ [[1 — (x, y)] [1 - (y, z)]]. (94)

Но согласно теоремам Де Моргана для нечетких множеств, можно записать

[1 - (х, у)] [1 - (у, z)]= 1 - (х, у) (у, z). (95)

Таким образом, (94) можно переписать в виде

1 - (х, z) ≥ [1 — ( (x, y) (y, z))]

или

(х, z) ≤ [ (x, y) (y, z))] (96)

Это свойство называется (min —max)-транзитивностью (его можно также называть ( min-mах)-котранзитивностью).

В силу (91)

(x, x)=1- (х, х)=1-1=0

И, наконец, симметрия тоже сохраняется. Итак, мы имеем

1) (х, у), (у, z), (х, z) E×E:

(х, z)≤ [ (x, y) (y, z)]— ( min-mах)-транзитивность, (97)

2) (x, x) E×E: (х, х)= 0 — антирефлексивность, (98)

3) (х, у) E×E: (х, у) = (в, х) - симметрия. (99)